2024年新教材高中数学第八章立体几何初步6.1直线与直线垂直学案新人教A版必修第二册.docVIP

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直线与直线垂直

视察下面两个图形．

【问题1】教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线的位置关系是什么？

【问题2】六角螺母中直线AB与CD的位置关系是什么？CD与BE的位置关系是什么？

【问题3】六角螺母中直线AB与BE所成角是多少度？怎样定义空间中直线AB与CD所成的角？

1．异面直线所成的角

(1)定义：已知异面直线a，b，经过空间中随意一个点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′，b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)；

(2)图示：

(3)规定：当两直线a，b相互平行时，我们规定它们所成的角为0°；

(4)范围：0°≤α≤90°．

平面内两条相交直线所成角的定义是什么？

提示：两直线相交，所成的锐角或直角叫做两相交直线所成的角．

2．两条异面直线相互垂直

假如两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说两条异面直线相互垂直，记作a⊥b.

异面直线垂直与平面内两条直线垂直有何异同？

提示：相同点是所成的角都是90°，不同点是异面直线垂直没有交点，平面内两条直线垂直有公共点．

对异面直线所成的角的相识理解的留意点

(1)随意性与无关性：在定义中，空间一点O是任取的，依据等角定理，可以断定异面直线所成的角与a′，b′所成的锐角(或直角)相等，而与点O的位置无关．

(2)转化求角：异面直线所成的角是刻画两条异面直线相对位置的一个重要的量，通过转化为相交直线所成的角，将空间角转化为平面角来计算．

(3)两条直线垂直是指相交垂直或异面垂直．

1．相互垂直的两条直线肯定是相交直线吗？

2．假如一条直线与两条平行直线中的一条垂直，那么这条直线与另一条直线垂直吗？

3．在△ABC中，角A＝120°，那么与边AB，AC平行的异面直线所成的角是120°吗？

提示：1.不肯定，也可能是异面直线；2.垂直；3.不是，所成的角是60°.

视察教材P147图8.6－3，直线BA′与直线DC′所成的角是多少？

提示：90°.

1．已知空间中的三条直线a，b，c满意a⊥c且b⊥c，则直线a与直线b的位置关系是()

A．平行 B．相交

C.异面 D．平行或相交或异面

【解析】选D.如

图，在长方体AC1中，

AB⊥AD，AB⊥A1D1，AD∥A1D1，

AB⊥AD，AB⊥AA1，AD∩AA1＝A，AB⊥AD，AB⊥CC1，AD与CC1异面，所以，垂直于同始终线的两条直线可平行，可相交，也可异面．

2．如图正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1

A.30°B．45°C．60°D．90°

【解析】选C.连接BC1，A1C1

因为BC1∥AD1，

所以异面直线A1B与AD1所成的角即为直线A1B与BC1所成的角．

在△A1BC1中，A1B＝BC1＝A1C1

所以∠A1BC1＝60°.

故异面直线A1B与AD1所成角为60°.

基础类型一求异面直线所成的角

(直观想象、数学运算)

1．(2024·哈尔滨高一检测)如图，点M是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CD的中点，则异面直线AM与BC1

A．eq\f(\r(10),5)B．eq\f(2\r(5),5)C．eq\f(\r(5),5)D．eq\f(\r(10),10)

【解析】选A.如图，

连接AD1，D1M.因为AB＝C1D1，AB∥C1D1

所以四边形ABC1D1为平行四边形，则AD1∥BC1，

则∠D1AM为异面直线AM与BC1所成角，设正方体的棱长为2，

则AD1＝2eq\r(2)，AM＝D1M＝eq\r(5).

所以cos∠D1AM＝eq\f(（2\r(2)）2＋（\r(5)）2－（\r(5)）2,2×2\r(2)×\r(5))＝eq\f(\r(10),5).

即异面直线AM与BC1所成角的余弦值是eq\f(\r(10),5).

2．将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则异面直线AB与CD所成角的大小是()

A.30°B．45°C．60°D．120°

【解析】选C.如图所示，

由题可知，四边形ABEG和CDFE均为正方形，△EFG为正三角形，

因为AB∥EG，CD∥EF，

所以∠GEF或其补角为异面直线AB与CD所成角，

因为△EFG为正三角形，所以∠GEF＝60°.

3．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝3，AB＝5，AA1＝4，求异面直线AC1与B1

【解析】如图连接BC1，与B1C交于点O，则O为B1

所