2024_2025学年新教材高中数学第5章统计与概率5.4统计与概率的应用学案含解析新人教B版必修第二册.docVIP

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5.4统计与概率的应用

学习任务

核心素养(老师独具)

1．通过实例进一步理解概率的意义及应用．(重点)

2．能用概率的学问解决实际生活中的问题．(难点)

1．通过概率的应用学习，体现了数学建模的核心素养．

2．通过概率解决实际生活中的问题，培育数学运算的核心素养.

某市打算实行阶梯电价，要求约75%的居民用电量在第一阶梯内，约20%的居民用电量在其次阶梯内，约5%的居民用电量在第三阶梯内．

问题：(1)若已知该市全部居民的用电量，怎样确定阶梯电价的临界点？

(2)若不能获得全部居民的用电量，又怎样确定阶梯电价的临界点？

[提示](1)把该市全部居民的用电量依据从小到大的依次排列，最终求出这组数的75%分位数、95%分位数即可．

(2)可以采纳随机抽样和用样本估计总体的方法来解决问题．

学问点生活中的概率及其应用

1．生活中的概率

概率和日常生活有着亲密的联系，对生活中的随机事务，我们可以利用概率学问做出合理的推断与决策．

2．概率的应用

概率是描述随机事务发生可能性大小的度量，它已经渗

透到人们的日常生活中，成为一个常用的词汇，任何事务的概率是0～1之间的一个数，它度量该事务发生的可能性．小概率事务(概率接近0)很少发生，而也许率事务(概率接近1)则常常发生．

1．若在同等条件下进行n次重复试验得到某个事务A发生的频率f(n)，则随着n的渐渐增加，有()

A．f(n)与某个常数相等

B．f(n)与某个常数的差渐渐减小

C．f(n)与某个常数差的肯定值渐渐减小

D．f(n)在某个常数旁边摇摆并趋于稳定

D[随着n的增大，频率f(n)会在概率旁边摇摆并趋于稳定，这也是频率与概率的关系．]

2.鱼池中共有N条鱼，从中捕出n条并标上记号后放回池中，经过一段时间后，再从池中捕出M条，其中有记号的有m条，则估计鱼池中共有鱼N＝________条．

eq\f(nM,m)[由题意得eq\f(n,N)≈eq\f(m,M)，∴N≈eq\f(nM,m).]

类型1统计在实际问题中的应用

【例1】某医院门诊部关于病人等待挂号的时间记录如下：

等待时

间/min

[0,5)

[5,10)

[10,15)

[15,20)

[20,25]

频数

4

8

5

2

1

(1)试用上述分组资料来求病人平均等待时间的估算值eq\x\to(x)及平均等待时间标准差的估计值s；

(2)为更好地服务病人，提高效率，医院应如何规定病人等待的时间范围？

[解](1)易知eq\x\to(x)＝eq\f(1,20)eq\i\su(i＝1,5,x)ipi，s2＝eq\f(1,20)eq\i\su(i＝1,5,)(xi－eq\x\to(x))2pi，其中xi为组中值，pi为相应的频数．

eq\x\to(x)＝eq\f(1,20)(2.5×4＋7.5×8＋12.5×5＋17.5×2＋22.5×1)＝9.5(min)．

s2＝eq\f(1,20)[(2.5－9.5)2×4＋(7.5－9.5)2×8＋(12.5－9.5)2×5＋(17.5－9.5)2×2＋(22.5－9.5)2×1]＝28.5(min2)．

s＝eq\r(28.5)≈5.34(min)．

∴病人平均等待时间为9.5min，标准差约为5.34min.

(2)由(1)知平均等待时间为9.5min，标准差约为5.34min.

∴规定病人等待的时间范围为4.16～14.84min.

1．用样本估计总体是统计学中的核心思想．

2．主要题型是用样本的数字特征或分布估计总体的数字特征或总体的分布．

3．平均值、方差(或标准差)是评判数据平均取值水平和离散程度的依据．

eq\o([跟进训练])

1．某校甲班、乙班各有49名学生，两班在一次数学测验中的成果(满分100分)统计如下表：

班级

平均分

众数

中位数

标准差

甲班

79

70

87

19.8

乙班

79

70

79

5.2

(1)请你对下面的一段话赐予简要分析：

甲班的小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测验，全班平均79分，得70分的人最多，我得了85分，在班里算是上游了！”

(2)请你依据表中数据，对这两个班的测验状况进行简要分析，并提出教学建议．

[解](1)由中位数可知，85分排在第25名之后，从名次上讲，85分不算是上游，但也不能单以名次来推断学习成果的好坏，小刚得了85分，说明他对这阶段的学习内容驾驭较好．

(2)甲班学生成果的中位数为87分，说明高于或等于87分的学生占一半以上，而平均分为79分，标准差很大，说明低分也多，两极分化严峻，建议对学习有困难的同学多给一些帮助；

乙班学生成果的中位数和平均分均为79分，标准差小，说明学生成果之间差别较小，成果很差的学生少