《力学中的微分方程》课件.ppt

经典力学中的微分方程

引言：力学与微分方程的关系力学力学是研究物体运动规律的科学，它涉及到力和运动的相互作用。微分方程

微分方程在经典力学中的重要性1利用微分方程可以精确地描述物体的运动轨迹。2微分方程可以帮助我们理解和预测力学系统的行为。

第一章：牛顿运动定律回顾牛顿第一定律惯性定律：物体在不受外力作用时，将保持静止或匀速直线运动状态。牛顿第二定律F=ma：物体的加速度与其所受合外力成正比，与物体的质量成反比。牛顿第三定律作用力与反作用力：相互作用的两个物体间的作用力与反作用力大小相等，方向相反，作用在不同的物体上。

牛顿第一定律：惯性定律当物体不受外力作用时，它将保持静止或匀速直线运动状态。惯性是物体保持运动状态不变的性质。惯性的大小由物体的质量决定。

牛顿第二定律：F=maF外力1m质量2a加速度3

牛顿第三定律：作用力与反作用力1两个物体相互作用时，会产生大小相等，方向相反的力。2作用力与反作用力作用在不同的物体上。3这两个力同时产生，同时消失。

牛顿运动定律的适用范围牛顿运动定律适用于宏观物体。牛顿运动定律适用于低速运动。牛顿运动定律不适用于相对论速度和量子现象。

例子：自由落体运动自由落体运动物体只受重力作用的运动。加速度加速度为重力加速度g，方向竖直向下。微分方程可以用牛顿第二定律写出自由落体运动的微分方程：ma=mg。

第二章：简谐振动1定义物体在回复力的作用下，围绕平衡位置做周期性运动。2特征振动周期和频率恒定，振幅可以改变。

简谐振动的定义与特征1定义物体在回复力的作用下，围绕平衡位置做周期性运动。2特征振动周期和频率恒定，振幅可以改变。

简谐振动的微分方程推导考虑一个质量为m的物体，它连接在弹簧上，弹簧的劲度系数为k。物体的位移为x，则回复力为-kx。根据牛顿第二定律，我们可以得到简谐振动的微分方程：md2x/dt2+kx=0。

简谐振动的解法：三角函数形式x(t)解简谐振动的解可以用三角函数表示：A振幅A是振动幅度。ω角频率ω是振动角频率，与弹簧的劲度系数和物体的质量有关。φ初相位φ是初始时刻物体的相位。

简谐振动的能量分析

阻尼振动：定义与分类定义当振动系统受到阻尼力作用时，振动幅度会逐渐减小。分类阻尼振动可以分为欠阻尼、临界阻尼和过阻尼。

阻尼振动的微分方程阻尼力的方向与速度方向相反，大小与速度成正比，比例系数为b。阻尼振动的微分方程为：md2x/dt2+bd/dt2+kx=0。

欠阻尼、临界阻尼、过阻尼1欠阻尼振动幅度逐渐减小，但仍然呈周期性运动。2临界阻尼振动幅度最快下降，不发生振动。3过阻尼振动幅度缓慢下降，不发生振动。

强迫振动：定义与微分方程定义在阻尼振动的基础上，施加一个周期性的外力。1微分方程md2x/dt2+bd/dt2+kx=F?cos(ωt)，其中F?是外力的振幅，ω是外力的角频率。2

共振现象：原理与应用ω?共振频率当外力的角频率与系统的固有频率相等时，振幅最大。A振幅在共振频率处，振幅达到最大值。

第三章：中心力场中的运动

中心力场的定义与性质定义力的大小只与物体到力的中心的距离有关，方向始终指向力的中心。性质中心力场是保守力场，即物体在中心力场中运动时，总能量守恒。

开普勒定律的回顾1行星轨道是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。2行星在相等时间内扫过相等的面积。3行星轨道的周期平方与其轨道半长轴的三次方成正比。

万有引力定律与中心力场1万有引力定律：任何两个物体之间都存在相互吸引的力，大小与它们质量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比。2万有引力定律是中心力场的典型例子，它解释了行星围绕太阳的运动。

中心力场中的能量守恒与角动量守恒能量守恒物体在中心力场中的总能量，即动能与势能之和，保持不变。角动量守恒物体在中心力场中的角动量，即质量、速度和到力中心的距离的向量积，保持不变。

有效势能：概念与应用有效势能是物体在中心力场中运动时的总能量，包括动能和势能。有效势能的概念可以用来分析物体的运动轨迹，例如，逃逸速度的计算。

行星运动的轨道方程行星运动的轨道方程可以用极坐标表示。轨道方程的具体形式取决于中心力场的形式。

圆锥曲线：椭圆、抛物线、双曲线

逃逸速度的计算逃逸速度是指物体脱离星球引力场所需的最小速度。逃逸速度可以用能量守恒定律来计算。

第四章：刚体力学1定义刚体是指形状和大小保持不变的物体。2运动形式刚体的运动可以是平动、转动或平动和转动的组合。

刚体的定义与运动形式1定义刚体是指形状和大小保持不变的物体。2运动形式刚体的运动可以是平动、转动或平动和转动的组合。

刚体的转动惯量转动惯量是物体抵抗转动改变的惯性，类似于线运动中的质量。转动惯量取决于物体的质量分布和转轴的位置。

平行轴定理与垂直轴定理1平行轴定理：物体绕某轴转动的惯量等于物体