2015届高考数学(浙江专用理科)必考题型过关练专题6 第24练(含答案).pdf

第24练空间向量解决立体几何问题两妙招

——“选基底”与“建系”

题型一选好基底解决立体几何问题

ABCDa

例1如图所示，已知空间四边形的各边和对角线的长都等于，

MNABCD

点、分别是、的中点．

MNABMNCD

(1)求证：⊥，⊥；

(2)求MN的长；

(3)求异面直线AN与CM夹角的余弦值．

破题切入点选好基底，将问题中涉及的向量用所选定的基底来线性表示，然后运算．

→→→

ABpACqADr

(1)证明设＝，＝，＝.

pqrapqr

由题意可知：||＝||＝||＝，且、、三向量两两夹角均为60°.

→→→1→→1→1

MNANAMACADABqrp

＝－＝(＋)－＝(＋－)，

222

→→11

MNABqrppqprpp2

∴＝(＋－)＝(＋－)

22

1

a2a2a2

＝(·cos60°＋·cos60°－)＝0.

2

MNABMNCD

∴⊥，同理可证⊥.

→1

MNqrp

(2)解由(1)可知＝(＋－)，

2

→→1

MN2MN2qrp2

∴||＝＝(＋－)

4

1

q2r2p2qrpqrp

＝[＋＋＋2(－－)]

4

1a2a2a2

a2a2a2

＝[＋＋＋2(－－)]

4222

1a2

a2

＝×2＝.

42

→2

∴|MN|＝a，

2

2

∴MN的长为a.

2

-1-/24

→→

ANMCθ

(3)解设向量与的夹角为.

-2-/24

→→→11

ANACADqr

∵＝(＋)＝(＋)，

22

→→→1

MCACAMqp

＝－＝－，

2

→→11

ANMCqrqp

∴·＝(＋)·(－)

22