新高考数学一轮复习考点探究与题型突破训练第11讲 指数与指数函数（原卷版）.doc

指数与指数函数

1．根式

(1)根式的概念

①若，则x叫做a的n次方根，其中n1且n∈N*.式子eq\r(n,a)叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数．

②a的n次方根的表示：

xn＝a?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(n,a)，当n为奇数且n∈N*，n1时，,x＝±\r(n,a)，当n为偶数且n∈N*时.))

(2)根式的性质

①(eq\r(n,a))n＝a(n∈N*，且n1)．

②eq\r(n,an)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，n为奇数，,|a|＝\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a0，))n为偶数.))

2．有理数指数幂

(1)幂的有关概念

①正分数指数幂：aeq\s\up6(\f(m,n))＝eq\r(n,am)(a0，m，n∈N*，且n1)；

②负分数指数幂：a－eq\s\up6(\f(m,n))＝eq\f(1,a\s\up6(\f(m,n)))＝eq\f(1,\r(n,am))(a0，m，n∈N*，且n1)；

③0的正分数指数幂等于，0的负分数指数幂．

(2)有理数指数幂的运算性质

①aras＝ar＋s(a0，r，s∈Q)；

②eq\f(ar,as)＝ar－s(a0，r，s∈Q)；

③(ar)s＝ars(a0，r，s∈Q)；

④(ab)r＝arbr(a0，b0，r∈Q)．

3．指数函数的图象与性质

y＝ax

(a0且

a≠1)

a1

0a1

图象

定义域

值域

性质

过定点

当x0时，y1；

当x0时，0y1

当x0时，0y1；

当x0时，y1

在R上是增函数

在R上是减函数

考点1指数幂的运算

[名师点睛]

1．对于指数幂的运算，首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：

(1)必须是同底数幂相乘，指数才能相加；

(2)运算的先后顺序．

2．当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．

3．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．

[典例]

1．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算；

（2）若，求的值．

2．（2022·全国·高三专题练习）化简下列各式(其中各字母均为正数)．

（1）；（2）；

（3）；（4）.

[举一反三]

1．（2022·全国·高三专题练习）计算：.

2．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算：；

（2）化简：.

3．（2022·全国·高三专题练习）已知，求下列各式的值．

（1）；（2）；（3）.

4．（2022·全国·高三专题练习）已知，求的值．

5．（2022·全国·高三专题练习）分别计算下列数值：

（1）；

（2）已知，，求.

6．（2022·全国·高三专题练习）化简：

（1）

（2）(a0，b0).

（3）.

考点2指数函数的图象及应用

[名师点睛]

1．对于有关指数型函数的图像问题，一般是从最基本的指数函数的图像入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．

2．有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图像，数形结合求解．

[典例]

1．（2022·浙江·宁波诺丁汉附中模拟预测）函数（且）的图象如图所示，则（???????）

A． B． C． D．

2．（2022·北京·高三专题练习）若函数（且）的图像经过定点P，则点P的坐标是（???????）

A． B． C． D．

[举一反三]

1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数（且）的图象过定点，则不等式的解集为（???????）

A． B． C． D．

2．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知函数的图象如图所示，则的图象可能是（???????）

A． B．

C． D．

考点3指数函数的性质及其应用

[名师点睛]

1．比较指数式的大小的方法：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小．

2．指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化．

3．涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数的相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．

[典例]

1．（2022·天津河西·一模）设，，，则a，b，c的大小关系为（???????）．

A． B．

C． D．

2．（多选）（2022·全国·高三专题练习）若指数函数在