新高考数学一轮复习考点探究与题型突破训练第19讲 利用导数证明不等式（解析版）.doc

第19讲利用导数证明不等式

考点1作差构造法证明不等式

[名师点睛]

待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”或“右减左”的函数，利用导数研究其单调性等相关函数性质证明不等式．

[典例]

(2021·全国乙卷)设函数f(x)＝ln(a－x)，已知x＝0是函数y＝xf(x)的极值点．

(1)求a；

(2)设函数g(x)＝eq\f(x＋f?x?,xf?x?)，证明：g(x)＜1.

[解](1)由题意得y＝xf(x)＝xln(a－x)，

则y′＝ln(a－x)＋x[ln(a－x)]′，

因为x＝0是函数y＝xf(x)的极值点，

所以y′|x＝0＝lna＝0，所以a＝1.

(2)证明：由(1)可知，f(x)＝ln(1－x)，其定义域为{x|x＜1}，

当0＜x＜1时，ln(1－x)＜0，此时xf(x)＜0，

当x＜0时，ln(1－x)＞0，此时xf(x)＜0.

易知g(x)的定义域为{x|x＜1且x≠0}，

故要证g(x)＝eq\f(x＋f?x?,xf?x?)＜1，只需证x＋f(x)＞xf(x)，即证x＋ln(1－x)－xln(1－x)＞0.

令1－x＝t，则t＞0且t≠1，则只需证1－t＋lnt－(1－t)lnt＞0，即证1－t＋tlnt＞0.

令h(t)＝1－t＋tlnt，则h′(t)＝－1＋lnt＋1＝lnt，

所以h(t)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以h(t)＞h(1)＝0，

即g(x)＜1成立．

[举一反三]

（2022·江苏盐城·三模）已知函数．

(1)若函数在上是单调递增，求实数的取值范围；

(2)若对于任意，存在正实数，使得，试判断与的大小关系，并给出证明．

【解】(1)则

由题意可得当时恒成立

构建，则当时恒成立

∴在上单调递增，当时恒成立

则即

(2)构建，则

∵且在区间连续

则在区间上存在极值点

即存在正实数，使得，

即

设，，当时恒成立

则函数在上单调递增，则，

即，则，

由（1）可知函数在上单调递增，

则，即．

考点2隔离分析法证明不等式

[名师点睛]

1．在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，则可以考虑转化为两个函数的最值问题．

2．在证明过程中，“隔离”化是关键，证出f(x)ming(x)max，从而得到f(x)g(x)恒成立，但此处f(x)与g(x)取到最值的条件不一定是同一个“x值”．

[典例]

(2022·福州模拟)已知函数f(x)＝elnx－ax(a∈R)．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)当a＝e时，证明：xf(x)－ex＋2ex≤0.

【解】(1)f′(x)＝eq\f(e,x)－a(x0)，

①若a≤0，则f′(x)0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；

②若a0，则当0xeq\f(e,a)时，f′(x)0，当xeq\f(e,a)时，f′(x)0，

故f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(e,a)))上单调递增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(e,a)，＋∞))上单调递减．

(2)证明：方法一：因为x0，所以只需证f(x)≤eq\f(ex,x)－2e，

当a＝e时，由(1)知，f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，

所以f(x)max＝f(1)＝－e.

令g(x)＝eq\f(ex,x)－2e(x0)，

则g′(x)＝eq\f(（x－1）ex,x2)，

所以当0x1时，g′(x)0，g(x)单调递减，

当x1时，g′(x)0，g(x)单调递增，

所以g(x)min＝g(1)＝－e.

综上，当x0时，f(x)≤g(x)，

即f(x)≤eq\f(ex,x)－2e，

即xf(x)－ex＋2ex≤0.

方法二：由题意知，即证exlnx－ex2－ex＋2ex≤0，

从而等价于lnx－x＋2≤eq\f(ex,ex).

设函数m(x)＝lnx－x＋2(x＞0)，则m′(x)＝eq\f(1,x)－1.

所以当x∈(0，1)时，m′(x)0，当x∈(1，＋∞)时，m′(x)0，

故m(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，

从而m(x)在(0，＋∞)上的最大值为m(1)＝1.

设函数h(x)＝eq\f(ex,ex)(x＞0)，则h′(x)＝eq\f(ex（x－1）,ex2).

所以当x∈(0，1)时，h′(x)0，当x∈(1，＋∞)时，h′(x)0，

故h(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，

从而h(x)在(0，＋∞)上的最小值为h(1)＝1.

综上，当x0时，m(x)≤h(x)，即xf(x)－ex＋2ex≤0.

[举一反三]

(2022·贵阳联