新高考数学一轮复习考点探究与题型突破训练第35讲 等差数列及其前n项和（原卷版）.doc

第35讲等差数列及其前n项和

1.等差数列的概念

(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.

数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数).

(2)等差中项：由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，根据等差数列的定义可以知道，2A＝a＋b.

2.等差数列的通项公式与前n项和公式

(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.

(2)前n项和公式：Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）d,2)＝eq\f(n（a1＋an）,2).

3.等差数列的性质

(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*).

(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.

(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列.

(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.

(5)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也为等差数列.

考点1等差数列的基本运算

[名师点睛]

1.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.

2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.

[典例]

1．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）记为等差数列的前项和.若，，则（???????）

A． B． C． D．

2．（2022·山东威海·三模）等差数列的前n项和为，若，则公差(???????)

A．1 B． C．2 D．

3．（2022·山东泰安·模拟预测）若等差数列满足，则它的前13项和为（???????）

A． B． C． D．

4．（2022·浙江·杭师大附中模拟预测）等差数列的前n项和为，，则（???????）

A．10 B．11 C．12 D．13

[举一反三]

1．（2022·海南海口·二模）设公差不为0的等差数列的前n项和为，已知，则（???????）

A．9 B．8 C．7 D．6

2．（2022·浙江·海宁中学模拟预测）设等差数列的前n项和为，若数列也是等差数列，则其首项与公差的比（???????）

A． B． C． D．

3．（2022·江苏淮安·模拟预测）已知等差数列}的前n项和为，若，则的取值范围是（???????）

A． B．

C． D．

4．（2022·湖北武汉·模拟预测）设公差不为零的等差数列的前n项和为，，则（???????）

A． B．-1 C．1 D．

5．（多选）（2022·福建·模拟预测）已知等差数列的前项和为，公差为，则（???????）

A． B．

C． D．

6．（多选）（2022·河北衡水·二模）已知等差数列的前n项和为，公差为d，则（???????）

A． B．

C． D．

7．（2022·全国·高考真题（文））记为等差数列的前n项和．若，则公差_______．

8．（2022·北京·101中学三模）已知等差数列中，则_______．

9．（2022·重庆八中模拟预测）在等差数列中，，则数列的前13项和为______．

10．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）记为等差数列的前项和，若，，则=_______．

11．（2022·山东淄博·模拟预测）设等差数列的前n项和为，若，，，则______．

12．（2022·河北唐山·一模）记是公差不为的等差数列的前项和，若，，则________.

考点2等差数列的判定与证明

[名师点睛]

1.证明数列是等差数列的主要方法：

(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数.即作差法，将关于an－1的an代入an－an－1，再化简得到定值.

(2)等差中项法：验证2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)都成立.

2.判定一个数列是等差数列还常用到的结论：

(1)通项公式：an＝pn＋q(p，q为常数)?{an}是等差数列.

(2)前n项和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)?{an}是等差数列.问题的最终判定还是利用定义.

[典例]

(2021·全国甲卷)已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.

①数列{an}是等差数列；②数列{eq\r(Sn)}是等差数列；③a2＝3a1.

注：若选择