新高考数学一轮复习考点探究与题型突破训练第59讲　随机事件的概率与古典概型（解析版）.doc

第59讲随机事件的概率与古典概型

1．样本空间和随机事件

(1)样本点和有限样本空间

①样本点：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，常用ω表示．

全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示．

②有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．

(2)随机事件

①定义：将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件．

②表示：大写字母A，B，C，….

③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件．

2．两个事件的关系和运算

含义

符号表示

包含关系

A发生导致B发生

A?B

相等关系

B?A且A?B

A＝B

并事件(和事件)

A与B至少一个发生

A∪B或A＋B

交事件(积事件)

A与B同时发生

A∩B或AB

互斥(互不相容)

A与B不能同时发生

A∩B＝?

互为对立

A与B有且仅有一个发生

A∩B＝?，A∪B＝Ω

3.频率与概率

(1)频率的稳定性

一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性．

(2)频率稳定性的作用：可以用频率fn(A)估计概率P(A)．

4．古典概型

(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；

(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．

5．古典概型的概率公式

一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝eq\f(k,n)＝eq\f(n?A?,n?Ω?).

其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．

6．概率的性质

性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0；

性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(?)＝0；

性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；

性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)；

性质5：如果A?B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为??A?Ω，所以0≤P(A)≤1.

性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．

考点1随机事件与样本空间

[名师点睛]

确定样本空间的方法

(1)必须明确事件发生的条件．

(2)根据题意，按一定的次序列出问题的答案．特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏．

[典例]

1.在1,2,3，…，10这十个数字中，任取三个不同的数字，那么“这三个数字的和大于5”这一事件是()

A．必然事件 B．不可能事件

C．随机事件 D．以上选项均有可能

答案A

解析从1,2,3，…，10这十个数字中任取三个不同的数字，那么这三个数字和的最小值为1＋2＋3＝6，

∴事件“这三个数字的和大于5”一定会发生，

∴由必然事件的定义可以得知该事件是必然事件．

2.一只口袋装有除颜色外，形状、大小等完全相同的2个白球，3个黑球，4个红球，从中分两次依次取两个球．

(1)写出这个试验的样本空间；

(2)“至少有1个白球”这一事件包含哪几个样本点？

解(1)这个试验的样本空间Ω＝{(白，白)，(黑，黑)，(红，红)，(白，黑)，(白，红)，(黑，白)，(红，白)，(黑，红)，(红，黑)}．

(2)“至少有1个白球”这一事件包含以下5个样本点：(白，白)，(白，黑)，(白，红)，(黑，白)，(红，白)．

[举一反三]

1.下列说法错误的是()

A．任一事件的概率总在[0,1]内 B．不可能事件的概率一定为0

C．必然事件的概率一定为1 D．概率是随机的，在试验前不能确定

答案D

解析任一事件的概率总在[0,1]内，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，概率是客观存在的，是一个确定值．

2.袋中有大小、形状相同的红球、黑球各一个，现在有放回地随机摸3次，每次摸取一个，观察摸出球的颜色，则此随机试验的样本点个数为()

A．5B．6C．7D．8

答案D

解析因为是有放回地随机摸3次，所以随机试验的样本空间为Ω＝{(红，红，红)，(红，红，黑)，(红，黑，红)，(红，黑，黑)，(黑，红，红)，(黑，红，黑)，(黑，黑，红)，(黑，黑，黑)}．共8个．

考点2事件的关系与运算

[名师点睛]

1.准确把握互斥事件与对立事件的概念：(1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生；(2)对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生.

2.判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事