新高考数学一轮复习考点探究与题型突破训练第60讲 事件的相互独立性与条件概率（原卷版）.doc

第60讲事件的相互独立性与条件概率

1.相互独立事件

(1)概念：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.

(2)性质：若事件A与B相互独立，那么A与eq\o(B,\s\up6(－))__，eq\o(A,\s\up6(－))与B，eq\o(A,\s\up6(－))与eq\o(B,\s\up6(－))也都相互独立.

2.条件概率

(1)概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)＞0，我们称P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率.

(2)两个公式

①利用古典概型，P(B|A)＝eq\f(n（AB）,n（A）)；

②概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A).

3.全概率公式

一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B?Ω，有P(B)＝eq\a\vs4\al(\o(∑,\s\up11(n),\s\do4(i＝1))P（Ai）P（B|Ai）)，我们称上面的公式为全概率公式.

考点1相互独立事件的概率

[名师点睛]

求相互独立事件同时发生的概率的方法

(1)相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率之积．

(2)当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手计算．

[典例]

1.(2021·新高考全国Ⅰ)有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则()

A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立

C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立

2.(多选)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是()

A．P(B)＝eq\f(2,5)

B．P(B|A1)＝eq\f(5,11)

C．事件B与事件A1相互独立

D．A1，A2，A3是两两互斥的事件

[举一反三]

1.(2022·福州模拟)投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏．晋代在广泛开展投壶活动中，对投壶的壶也有所改进，即在壶口两旁增添两耳，因此在投壶的花式上就多了许多名目，如“贯耳(投入壶耳)”．每一局投壶，每一位参赛者各有四支箭，投入壶口一次得1分，投入壶耳一次得2分．现有甲、乙两人进行投壶比赛(两人投中壶口、壶耳是相互独立的)，甲四支箭已投完，共得3分，乙投完2支箭，目前只得1分，乙投中壶口的概率为eq\f(1,3)，投中壶耳的概率为eq\f(1,5).四支箭投完，以得分多者赢．请问乙赢得这局比赛的概率为()

A.eq\f(13,75)B.eq\f(3,75)C.eq\f(8,15)D.eq\f(8,75)

2.(2020·全国Ⅰ卷)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：

累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.

经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为eq\f(1,2).

(1)求甲连胜四场的概率；

(2)求需要进行第五场比赛的概率；

(3)求丙最终获胜的概率.

考点2条件概率

[名师点睛]

求条件概率的常用方法

(1)定义法：P(B|A)＝eq\f(P?AB?,P?A?).

(2)样本点法：P(B|A)＝eq\f(n?AB?,n?A?).

(3)缩样法：去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解．

[典例]

1.某公司为方便员工停车，租了6个停车位，编号如图所示．公司规定：每个车位只能停一辆车，每个员工只允许占用一个停车位．记事件A为“员工小王的车停在编号为奇数的车位上”，事件B为“员工小李的车停在编号为偶数的车位上”，则P(A|B)等于()

A.eq\f(1,6)B.eq\f(3,10)C.eq\f(1,2) D.eq\f(3,5)

2.(多选)(2022·滨州模拟)为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史知识的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动