河南省部分学校2024−2025学年高三下学期2月开学收心考试数学试题[含答案].docx

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河南省部分学校2024?2025学年高三下学期2月开学收心考试数学试题

一、单选题（本大题共8小题）

1．已知集合和集合，则（???）

A． B． C． D．

2．已知为虚数单位，则的虚部为（???）

A． B． C． D．

3．已知点是角终边上一点，则（???）

A． B． C． D．

4．已知平面向量，满足：，，则在方向上的投影向量为（???）

A． B． C． D．

5．某同学将英文单词“”中字母的顺序记错了，则该同学写错的情况有（???）

A．种 B．种 C．种 D．种

6．已知，，，成等差数列，，，，，成等比数列，则（???）

A．54 B． C．或54 D．或27

7．已加直线与双曲线的渐近线分别交于M，N两点，P为弦MN的中点，若直线OP（O为坐标原点）的方程为，则（???）

A． B．4 C． D．

8．已知函数，，当时，函数的图象始终在函数图象的上方，则实数的取值范围为（???）

A． B． C． D．

二、多选题（本大题共3小题）

9．已知正四棱台上底面的边长为2，下底面边长为4，棱台的体积为56，则下列说法正确的是（???）

A．该四棱台的高为3 B．该四棱台的侧棱长为

C．该四棱台的侧面积为 D．该四棱台一定不存在内切球

10．已知函数，则下列说法正确的是（???）

A．函数的最小正周期为

B．函数在上的值域为

C．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则函数的图象关于y轴对称

D．若方程在上恰好有一个根，则m的取值范围为

11．已知为抛物线的焦点，，为抛物线上两动点，分别过作抛物线的切线，两切线交于点，则（???）

A．

B．若直线的倾斜角为，则

C．直线的方程为

D．点的坐标为

三、填空题（本大题共3小题）

12．已知幂函数的图象经过点，则.

13．已知100个样本数据的平均数为14，标准差为4，其中，，则这40个数据的方差为.

14．若为正项数列的前项和，且满足，则数列为数列（从“等差”和“等比”二者中选一个填到横线上）；若数列满足：，（），则数列的通项公式为.

四、解答题（本大题共5小题）

15．已知椭圆的左、右焦点分别是，，过且斜率为的直线与椭圆分别交于M，N两点.

(1)当时，求的面积；

(2)若直线OM的斜率与直线ON的斜率满足，求椭圆C的方程.

16．如图，圆锥的底面直径和母线长度均为2，是底面圆上的一条弦.

(1)当时，证明：；

(2)当时，求平面与平面夹角的余弦值.

17．已知中，角的对边分别是，.

(1)证明：成等差数列；

(2)若，内切圆半径为r，求r的最大值.

18．一颗质地均匀的正四面体骰子，四个面分别印有数字1，2，3，4，记投掷完后，与地面接触面上的数字为该次投掷的点数，连续随机投掷三次，得到的点数分别是x，y，z.

(1)求为偶数的概率：

(2)记随机变量，求X的分布列和数学期望.

19．已知函数在单调递增.

(1)求a的值；

(2)解不等式（为函数的导函数）；

(3)证明：.

参考答案

1．【答案】C

【详解】由可得，即，

由，解得：，即，

故.

故选：C.

2．【答案】D

【详解】因为，所以的虚部为，

故选：D.

3．【答案】A

【详解】依题意可得，

所以.

故选：A.

4．【答案】A

【详解】因为，所以，

又因为，两式相减可得，

所以，

所以在方向上的投影向量为，

故选：A.

5．【答案】D

【详解】因为“”中字母共有种排法，所以该同学写错的情况有种，

故选：D.

6．【答案】B

【详解】由，，，成等差数列，得公差，

由，，，，成等比数列，得，

而，解得，

所以.

故选：B

7．【答案】B

【详解】

??

由双曲线方程易得渐近线方程：，联立，

解得：，即

解得：，即

所以点

由题意可知，

解得：

故选：B

8．【答案】D

【详解】由题意可知，对任意的，，即，即，

因为，故，故，

令，其中，则，

由可得，由可得，所以，

由题意可得恒成立，

当时，显然该不等式成立，此时，；

当时，则，令，其中，则，

由可得，由可得，

所以，函数在上单调递减，在上单调递增，

所以，；

当时，则，令，其中，则，

所以，函数在上单调递减，则.

综上所述，，即实数的取值范围是.

故选：D.

9．【答案】BCD

【详解】对于A，设该四棱台的高为，则，解得，A错误；

对于B，该四棱台的侧棱长，B正确；

对于C，该四棱台的斜高为，侧面积为，C正确；

对于D，若该四棱台有内切球，内切球必与两底相切，球的直径为四棱台的高6，

而该球的直径一定小于正四棱台下底边长4，矛盾，因此该四棱台不存在内切球，D错误.

故选：BCD

10．【答案】BCD

【详解】函数

，

对于A，函数的最小正周期为