河南省驻马店市新蔡县第一高级中学2024−2025学年高三下学期2月开学考试数学试题[含答案].docx

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河南省驻马店市新蔡县第一高级中学2024?2025学年高三下学期2月开学考试数学试题

一、单选题（本大题共8小题）

1．已知集合，则（???）

A． B． C． D．

2．已知复数（为虚数单位），则（????）

A． B． C． D．

3．已知均为正实数，且，则的最小值为（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

4．公司选拔部门总监，根据投票数与业绩评分，甲、乙、丙、丁、戊人以并列第一的得分在选拔中脱颖而出.现在人事部、财务部与科研部要分别选择人担任部门总监，其余人随机分别调到个部门中担任项目经理，设事件{甲、乙两人不在同一部门}，事件{甲担任财务部部门总监}，则（????）

A． B． C． D．

5．已知实数满足，则的最大值为（???）

A． B． C． D．

6．已知一件艺术品由外层一个大正四面体，内层一个小正方体构成，外层正四面体的棱长为2，在该大正四面体内放置一个棱长为的小正方体，并且小正方体在大正四面体内可以任意转动，则的最大值为（???）

A． B． C． D．

7．已知在正方形中，，为中点，为正方形内部或边界上一点，则的最大值为（?????）.

A． B． C． D．2

8．是平面直角坐标系内一点，我们以轴正半轴为始边，射线为终边构成角，的长度作为的函数，若其解析式为：，则的轨迹可能为：（?????）.

A． B．

C． D．

二、多选题（本大题共3小题）

9．已知函数的导函数为，的导函数为，若，，则称是“T函数”，则下列说法正确的是（???）

A．是T函数

B．若是定义域为的T函数，则

C．若对任意成递增等差数列的4个数，，，，都有,则是T函数

D．若是定义域为的T函数，且当时，则在上单调递增

10．如图，在棱长为的正方体中，点满足，则下列说法正确的是（????）

A．若，则平面

B．若，则点的轨迹长度为

C．若，则存在，使

D．若，则存在，使平面

11．下列说法正确的是（????）

A．有一组数1，2，3，5，这组数的第75百分位数是3

B．在的独立性检验中，若不小于对应的临界值，可以推断两变量不独立，该推断犯错误的概率不超过0.05

C．随机变量，若，则

D．用拟合一组数据时，经代换后得到的回归直线方程为，则，

三、填空题（本大题共3小题）

12．已知定义在上的函数的导函数为，且，，若，则．

13．甲、乙、丙3人做传球游戏，游戏规则为：一人随机将球传到另外两人中的一人手里，接到球的一人再将球随机传到另外两人中的一人手里，如此循环传递下去，如果由甲先传球，则连续传球五次后，球在甲手里的概率为.

14．已知焦点在轴上的椭圆的左焦点为，为坐标原点，三点均在上（，位于同一象限），在线段上，在线段上，且，则的离心率为：.

四、解答题（本大题共5小题）

15．△ABC中，角A、B、C的对边为a，b，c，已知，且.

(1)求角A的大小；

(2)若，求△ABC的周长的值.

16．如图，在三棱锥中，二面角的大小为，，为棱的中点.

(1)①②③④从上述四个条件中，选出一个能证明的选项，并证明；

(2)设，点为上一点，是否存在点使得二面角的余弦值等于？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由.

17．已知函数.

(1)讨论的单调性；

(2)证明：.

18．某市高新技术开发区，一家光学元件生产厂家生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于76为合格品，小于76为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表：

测试指标

元件数（件）

2

18

36

40

4

(1)现从这100件样品中随机抽取2件，在其中一件为合格品的条件下，求另一件为不合格品的概率；

(2)关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量具有数学期望，方差，则对任意正数，均有成立.

（i）若，证明：；

（ii）由切比雪夫不等式可知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的.若该工厂声称本厂元件合格率为95%，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件发生的概率小于0.05时，可称事件为小概率事件）

19．若无穷数列满足：对于，，其中A为常数，则称数列为“A数列”．

(1)若等比数列为“A数列”，求的公比q；

(2)若数列为“A数列”，且，．

①求证：；

②若，且是正项数列，，求满足不等式的的最小值．

参考答案

1．【答案】C

【详解】因，

则

故.

故选：C．

2．【答案】C

【详解】因为，则，

所以，

故选：C.

3．【答案】C

【详解】由可得，

故，

由于故，当且仅当，即时取等号，

故，故的最小值为3，

故选：C

4．【答案】C

【详解】由题知，，

所以，

故选：C.

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