湖南省常德市第六中学2024−2025学年高三下学期开学考试数学试题[含答案].docx

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湖南省常德市第六中学2024?2025学年高三下学期开学考试数学试题

一、单选题（本大题共8小题）

1．已知集合，，则（????）

A． B．

C． D．

2．设复数满足，则（）

A． B．1 C． D．2

3．在四边形ABCD中，若则四边形为（????）

A．平行四边形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形

4．已知函数在定义域上是单调函数，则实数a的取值范围是（）

A．[-1，6] B．(-1，6) C．[4，6] D．[4，6)

5．已知椭圆的上、下焦点分别为，点在椭圆上且位于第三象限，满足的角平分线与相交于点，若，则椭圆的离心率为（????）

A． B． C． D．

6．已知某正四棱台上底面的边长为，下底面的边长为，外接球的表面积为，则该正四棱台的体积为（????）

A．224 B．112 C．224或 D．112或

7．已知数列满足，．设，若对于任意的，．恒成立，则实数的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

8．若点是曲线上任意一点，则点到直线距离最小值为（????）

A．1 B． C． D．

二、多选题（本大题共3小题）

9．下列说法正确的是（????）

A．用简单随机抽样的方法从含有60个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，则每个个体被抽到的概率是0.1

B．已知一组数据1，2，，，8，9的平均数为5，则这组数据的中位数是5

C．已知某班共有45人，小明在一次数学测验中成绩排名为班级第9名，则小明成绩是全班数学成绩的第20百分位数

D．甲班和乙班各有学生20人、40人，甲班的数学成绩的平均数为80分，方差为2，乙班的数学成绩的平均数为82分，方差为4，那么甲班和乙班这60人的数学成绩的方差是3

10．已知双曲线，则下列说法正确的是（????）

A．双曲线与双曲线C有相同的渐近线

B．双曲线的离心率等于实轴长

C．直线被双曲线C截得的弦长为

D．直线与双曲线的公共点个数只可能是0，2

11．已知都是定义在上的函数，对任意满足，且，则下列说法正确的有（????）

A．

B．函数的图象关于点对称

C．

D．若，则

三、填空题（本大题共3小题）

12．已知，则，则，．

13．如图，用四种不同颜色给图中的五个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色．则不同的涂色方法共有种．

14．在平面直角坐标系xOy中，直线l过点A（0，5）且与曲线x2+y2＝5（x＞0）相切于点B，则直线l的方程是，设E是线段OB中点，长度为的线段PQ（P在Q的上方）在直线l上滑动，则|OP|+|EQ|的最小值是.

四、解答题（本大题共5小题）

15．在中，角的对边分别为

(1)求角；

(2)已知边的中点为，且，求面积的最大值.

16．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若，AD＝DC．试证明：

（1）AB1∥面BC1D；

（2）AB1⊥BC1

17．有一堆大小和质地都相同的白球和黑球，先将一个白球和一个黑球放入袋子中，再从袋子中不放回地随机取出一个球，然后再往袋子中加入一个白球和一个黑球，再从袋子中不放回地随机取出一个球，如此循环取球．

(1)若取了三次球，求刚好取出个黑球的概率；

(2)若要使取出的球中有黑球的概率不低于，求最少需要取多少次球．

18．已知函数．

（1）求的单调区间；

（2）求在上的最大值和最小值．

19．已知椭圆的右焦点为，过且与轴垂直的弦长为.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过作直线与椭圆交于两点，问：在轴上是否存在点，使为定值，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由.

参考答案

1．【答案】B

【详解】由题知，集合，，所以.

故选：B．

2．【答案】B

【详解】，

则.

故选：.

3．【答案】B

【详解】由知四边形ABCD是平行四边形，

又，∴,即，

∴此四边形为矩形,

故选：B

4．【答案】D

【解析】根据分段函数的单调性，可确定都为单调递减，确定含有的不等式，解出的范围.

【详解】令由于为单调函数，所以，依然单调，根据函数的解析式可知，求其对称轴为，所以在上单调递减，那么也为单调递减，所以，则，所以.

故选：D.

5．【答案】C

【详解】因为，则，

由角平分线的性质可得，

因为，所以，

由椭圆的定义可知：，

在△，，

由余弦定理可得，

即，

整理可得：,

即，可得，

因为，所以．

故选：C．

6．【答案】D

【详解】根据题意，球心位置分为两种情况：

若球心位置在几何体内，

如图所示：设为外接球球心，为外接球半径，则,

????

又上底面是边长为的正方形，故

下底面的边长为的正方形，故

外接球的表面积为所以

则

所以正四棱台的高

正四棱台的体积

当球心在的延长线上时，正