吉林省通化市梅河口市第五中学2024−2025学年高三下学期开学考试数学试题[含答案].docx

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吉林省通化市梅河口市第五中学2024?2025学年高三下学期开学考试数学试题

一、单选题（本大题共8小题）

1．已知集合，则（???）

A． B． C． D．

2．某校有男生人，女生人，现按性别采用分层抽样的方法从该校学生中抽取人进行调查，则男生被抽取的人数是（???）

A． B． C． D．

3．某工厂有一个正四棱台形的储物料斗，该储物料斗的上底面边长为4米，下底面边长为2米，高为3米，则该储物料斗的体积是（???）（不考虑储物料斗斗壁的厚度）

A．立方米 B．28立方米

C．立方米 D．84立方米

4．“”是“”的（???）

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．向高为的容器中注水，且任意相等的时间间隔内所注入的水体积相等，若容器内水面的高度与注水时间的函数关系的图象如图所示，则该容器的形状可能是（???）

A． B．

C． D．

6．已知圆锥底面半径，底面圆周上两点、满足，圆锥顶点到直线的距离为，则该圆锥的侧面积为（???）

A． B． C． D．

7．记等差数列的前项和为，公差为，若，，则（???）

A． B． C． D．

8．已知函数，，则方程的所有实数解的和是（????）

A．6 B．4 C．2 D．1

二、多选题（本大题共3小题）

9．若函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则（????）

A．的最小正周期为

B．是奇函数

C．的图象关于直线对称

D．在上单调递增

10．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，下列选项正确的是（????）

??

A．

B．平面

C．的面积与的面积相等

D．三棱锥的体积为定值

11．设，分别为椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且，则下列说法中正确的是（???）

A． B．的周长为

C．的面积为4 D．点P在圆上

三、填空题（本大题共3小题）

12．已知椭圆中心在原点，长轴长为4，以双曲线的顶点为焦点，则椭圆的标准方程为．

13．已知正项等比数列的前项和为，若，则最小值为

14．已知函数，则不等式的解为．

四、解答题（本大题共5小题）

15．蛇年来临之际，某商场计划安排新春抽奖活动，方案如下：1号不透明的盒子中装有标有“吉”“安”“和”字样的小球，2号不透明的盒子中装有标有“祥”“康”“顺”字样的小球，顾客先从1号不透明的盒子中取出1个小球，再从2号不透明的盒子取出1个小球，若这2个球上的字组成“吉祥”“安康”“和顺”中的一个词语，则这位顾客中奖，反之没有中奖，每位顾客只能进行一轮抽奖．已知顾客从不透明的盒子取出标有“吉”“安”“和”“祥”“康”“顺”字样小球的概率均为，且顾客取出小球的结果相互独立．

(1)求顾客中奖的概率；

(2)若小明一家三口参加这个抽奖活动，求小明全家中奖次数的分布列及数学期望．

16．如图，在直四棱柱中，，，.

(1)证明：四边形是梯形．

(2)求平面与平面夹角的余弦值．

17．设函数.

(1)当时，求的单调区间；

(2)当时，，求的取值范围.

18．在直角坐标系中，已知动圆过定点，且截轴所得的弦长为2.

(1)求动圆圆心的轨迹方程；

(2)，为曲线上的两个动点，过，中点且与轴平行的直线交曲线于点，曲线在点处的切线交轴于点.

（i）证明：；

（ii）若点在直线上，求面积的最大值.

19．若数列的首项，对任意的，都有（k为常数，且），则称为有界变差数列，其中k为数列的相邻两项差值的上界．已知数列是有界变差数列，的前n项和为．

(1)当时，证明：．

(2)当（）中各项都取最大值时，对任意的恒成立，求k的最大值；

(3)当（）中各项都取最大值时，，数列的前n项和为，若对任意的，都有，求的取值范围．

参考答案

1．【答案】D

【详解】因为，

又，

所以.

故选：D.

2．【答案】C

【详解】设男生被抽取的人数是，

由已知可得，

解得，.

故选：C.

3．【答案】B

【详解】该储物料斗为正四棱台，且上底面边长为4米，下底面边长为2米，高为3米，

所认立方米.

所以该储物料斗的体积是立方米.

故选：B.

4．【答案】A

【详解】因为，

所以“”不能推出“”，

“”能推出“”，

所以“”是“”的必要不充分条件.

故选：A.

5．【答案】C

【详解】根据函数图象可知，随着注水时间的增大，在相等时间间隔内容器内水面的高度的增加量越来越大，即的变化率逐渐增大，

故该容器从下到上宽度应逐渐减小，选项C中容器符合要求.

故选：C.

6．【答案】B

【详解】设圆锥的顶点为，底面圆圆心为点，取线段的中点，连接、、、，

因为，，则，，

因为圆锥顶点到直线的距离为，所以，

因为圆锥底面半径，故，又，

所以为等腰直角三角形，为斜边，

因为为线段