离散数学及其应用--第2版 课件 第5章函数.pptx

第5章函数

函数5.1函数的定义5.2特殊函数5.3复合函数5.4反函数5.5集合的基数

函数定义设f是从集合A到B的一个二元关系，且对于任一x?A，都有唯一的y?B，使得(x，y)?f，则称f为从A到B的函数或映射，记作：f：A?B。例设集合A={a,b,c}，B={1,2,3,4,5}，如果f={(a,1),(b,3),(c,5)},判断f是否是A到B的函数。解是

定义域和值域定义如果f是从A到B的函数，则称A是f的定义域，B是f的陪域。如果(x，y)?f，则可写成y=f(x)，称y为x的像，x为y的原像。A中元素的所有像元素构成的集合，称为f的值域。可以用domf表示f的定义域，ranf表示f的值域，所以有domf=A，ranf?B。

例题例设集合A={x1，x2}，B={y1，y2}，f={(x1，y1)，(x2，y2),，(x2，y1)}，g={(x1，y1)，(x2，y1)}，判断f和g是否是A到B的函数。解f不是，g是f是从A到B的函数需满足下列条件的关系：函数的定义域是A，不能是A的任一真子集。对集合A的任一元素，对应集合B中唯一的元素y。

定义设f、g均为集合A到集合B的函数。若对?x?A，都有f(x)=g(x)，则称函数f和g相等，记作f=g。定义设A、B为集合，所有从A到B的函数构成BA，读作“B上A”，即BA={f|f：A?B}。

例题例集合A={0，1，2}，B={a，b}。写出所有从A到B的函数。解所有从A到B的函数为：f1={(0，a)，(1，a)，(2，a)}f2={(0，a)，(1，a)，(2，b)}f3={(0，a)，(1，b)，(2，a)}f4={(0，a)，(1，b)，(2，b)}f5={(0，b)，(1，a)，(2，a)}f6={(0，b)，(1，a)，(2，b)}f7={(0，b)，(1，b)，(2，a)}f8={(0，b)，(1，b)，(2，b)}因而BA={f1，f2，f3，f4，f5，f6，f7，f8}。如果|A|=m，|B|=n，则|BA|=nm。因为?x?A，f(x)有n种取法，。

4.8.2特殊函数定义给定函数f：A?B若对于?x1，x2?A，x1?x2，都有f(x1)?f(x2)，则称f是单射函数(或一对一映射)。若对?y?B，都有x?A，使得f(x)=y，则称f是满射函数(或从A到B上的映射)。若f既是满射又是单射,则称f是双射函数(或一一对应映射)。

例题例令f是从A={a，b，c，d}到B={1，2，3，4，5}的函数，f(a)=1，f(b)=2，f(c)=3，f(d)=5，f是单射、满射还是双射函数？解f是单射函数。

例题例图4.8.1定义了函数f，g，h，指出f，g，h哪些是单射，满射和双射。fgh解f是单射函数，g是满射函数，h是双射函数。

常用的函数(1)设f:A→B,如果存在b∈B使得对所有的x∈A都有f(x)=b,则称f:A→B是常函数。(2)设f:A→A,如果对所有的x∈A都有f(x)=x，称f:A→A为A上的恒等函数。(3)设A为集合,对于任意的A?A,A?的特征函数fA:A→{0,1}定义为:

常用的函数（续）(4)设R是A上的等价关系,令g:A→A/R，g(a)=[a]R,?a∈A，称g是从A到商集A/R的自然映射。(5)对有理数x，f(x)为大于或等于x的最小整数，称f(x)为上取整函数，记为(6)对有理数x，f(x)为小于或等于x的最大整数，称f(x)为下取整函数，记为

4.8.3复合函数定义设f是从集合A到集合B的函数，g是从集合B到集合C的函数，f和g的复合用gof表示为gof={(x，z)|x?A?z?C??y(y?B?(x，y)?f?(y，z)?g)gof是从A到C的函数，称为f和g的复合函数。对任意x?A都有gof(x)=g(f(x))。注意，如果f的值域不是g的