2023-2024学年上海市嘉定区安亭高级中学高一（下）期中数学试卷 （含解析）.docxVIP

2023-2024学年上海市嘉定区安亭高级中学高一（下）期中数学试卷

一、填空题（本大题共有12题，满分48分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果。

1．已知向量，则．

2．计算：．

3．设向量，若，则．

4．若，则．

5．已知、，则的单位向量坐标为．

6．若，且满足，则的最小值为．

7．在△中，．记，用表示．

8．始边与轴的正半轴重合的角的终边过点，则．

9．已知向量在上的投影向量为，且，则．

10．“南昌之星”摩天轮半径为80米，建成时为世界第一高摩天轮，成为南昌地标建筑之一．已知摩天轮转一圈的时间为30分钟，甲坐上摩天轮6分钟后，乙也坐上了摩天轮，又过了分钟后，甲乙两人离底面高度相等，则．

11．已知、是圆的直径上的两点，且，、是圆上的两个动点，且，则的最大值为．

12．设函数，若对于任意，在区间，上总存在唯一确定的，使得，则的取值范围为．

二、选择题（本大题共有4题，满分16分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑。

13．已知向量，则

A． B．2 C．3 D．0

14．函数是由得到的．

A．向右平移 B．向右平移 C．向右平移 D．向右平移

15．已知是平面上两个不平行的向量，则以下可以作为平面向量的一个基的一组向量是

A． B．

C． D．

16．下列定义在上的函数是奇函数的是

A． B． C． D．

三、解答题（本大题共有5题，满分40分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤。

17．在中，，．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若边的长为11，求的面积．

18．已知函数．

（1）求的最小正周期；

（2）求在区间上的最大值和最小值．

19．已知向量，．

（1）若，求的值；

（2）若，求的值．

20．如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形的形状，它的下底是半圆的直径，上底的端点在圆周上．记．（提示：直径所对的圆周角是直角，即图中

（1）用表示的长；

（2）若，求如图中阴影部分的面积；

（3）记梯形的周长为，将表示成的函数，并求出的最大值．

21．已知△中，，令，且．过边上一点（异于端点）作边的垂线，垂足为，再由作边的垂线，垂足为，又由作边的垂线，垂足为．设．

（1）求的长度；

（2）若，求的值；

（3）若存在实数，使得为常数，求的值，并写出该常数．

参考答案

一．选择题（共4小题）

题号

13

14

15

16

答案

D

B

D

A

一、填空题（本大题共有12题，满分48分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果。

1．已知向量，则．

解：向量，

所以．

故答案为：．

2．计算：．

解：设，则，且为锐角，

所以．

故答案为：．

3．设向量，若，则．

解：，

，

，

．

故答案为：．

4．若，则．

解：已知，

则．

故答案为：．

5．已知、，则的单位向量坐标为．

解：由、，

可得，

则的单位向量为．

故答案为：．

6．若，且满足，则的最小值为．

解：周期为，且在区间上为单调增函数，

，

故，．

且，

故的最小值为．

故答案为：．

7．在△中，．记，用表示．

解：

．

故答案为：．

8．始边与轴的正半轴重合的角的终边过点，则．

解：始边与轴的正半轴重合的角的终边过点，

则，

故．

故答案为：．

9．已知向量在上的投影向量为，且，则1．

解：在上的投影向量为，得，，

，．

故答案为：1．

10．“南昌之星”摩天轮半径为80米，建成时为世界第一高摩天轮，成为南昌地标建筑之一．已知摩天轮转一圈的时间为30分钟，甲坐上摩天轮6分钟后，乙也坐上了摩天轮，又过了分钟后，甲乙两人离底面高度相等，则12．

解：根据题意，摩天轮转一圈的时间为30分钟，

则甲与乙的角度相差，

设甲乙二人之间的劣弧的中点为，则当乙坐上摩天轮时，

点与摩天轮最低点之间劣弧所对的圆心角为，

所以点与摩天轮最高点之间劣弧所对的圆心角为，

经过了分钟，点到达最高点，甲乙二人离地面高度相等，所以．

故答案为：12．

11．已知、是圆的直径上的两点，且，、是圆上的两个动点，且，则的最大值为．

解：由题意可得，，则，

由可得：，

所以

，

当时，取得最大值为．

故答案为：．

12．设函数，若对于任意，在区间，上总存在唯一确定的，使得，则的取值范围为．

解：因为函数，，

所以，

又因为在区间，上总存在唯一确定的，使得，

即在区间，上总存在唯一确定的，使得，

因为，，结合三角函数的性质，可得．

故答案为：．

二、选择题（本大题共有4题，满分16