2.4.2 向量线性运算的坐标表示（教案）-高二数学（高教版2023修订版拓展模块一上册）.docx

教学目标2.4.2向量线性运算的坐标表示

教学目标

能用向量坐标进行向量的线性运算.

教学重难点教学重点：会用向量的坐标形式进行向量运算，判定两个向量平行

教学重难点

教材分析教学难点：判定两个向量平行．

教材分析

本课从数轴上的点与实数一一对应、平面直角坐标系中的点与有序实数对一一对应开始，通过探究起点在原点的向量OA与单位向量i，

教学工具j之间的关系，把向量OA分解为xi和yj之和，建立了向量OA与点A的坐标(x，y)之间的关系，并且OA=xi+yj；接着利用向量的减法建立了任一向量AB与它的终点B与起点A的坐标的差之间的关系，AB=(x2-x1)i+(y2-y1)j．这两个式子表明任意一个向量都可以用一个有序实数．

教学工具

教学课件

教学过程（一）

教学过程

对于向量a=(x1，y1)和b=(x2，y2)，向量a+b、a-b、λa如何用坐标表示呢？

【设计意图】提出问题引发思考.

（二）探索新知

由a=(x1，y1)、b=(x2，y2)知，a=x1i+y1j，b=x2i+y2j（i、j分别为x轴、y轴正方向上的单位向量）．则a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j)=(x1+x2)i+(y1+y2)j，即 a+b=(x1+x2，y1+y2)．

同理可得， a-b=(x1-x2，y1-y2)，

λa=(λx，λy)．

这说明两个向量和(差)的坐标等于这两个向量相应坐标的和(差).

实数与向量的积的坐标等于这个实数与向量相应坐标的乘积．

平面向量的坐标运算

设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则有下表：

(x

(x1＋x2，y1＋y2)

和

(x

(x1－x2，y1－y2)

差

(λx

(λx，λy)

【设计意图】结合向量加法进行推理，提升数学运算核心素养.

（三）典例剖析

例1.已知，，求，的坐标．

解：因为，，

则，

.

例2.如图所示，正六边形ABCDEF的中心O在坐标原点，边长为2，CF在x轴上，试求向量AB、BC、BE的坐标．

解：（1）根据题意，ΔABO和ΔBOC都是边长为2的正三角形，故点C的坐标为(2，0)．因此AB=OC=(2，0)；

（2）设正六边形与y轴的负半轴交于点G，则OG为正三角形ABO的高和中线．于是OG=3?BG=3×1=3，故点B的坐标为(1，-3)．于是，BC=(2，0)-(1，-3)=(1，3)；

（3）因为OB=(1，-3)，所以BE=-2OB=(-2，23)．

我们知道，当a≠0时，a∥b?存在实数λ，使得b=λa．

设a=(x1,y1)、b=(x2,y2)，由b=λa得，x2=λx1且y2=λy1．

因此，当a≠0，a∥b?x1y2=x2y1．

例3.已知、、三点的坐标分别为、、，

判断向量与是否共线．

解：已知、、，

所以，，，则，所以，向量与共线.

【设计意图】例1是向量坐标的线性运算示例；，例2是结合特殊图形和相等向量的性质解决问题；例3达成课标要求坐标形式判定向量平行.

（四）巩固练习

1.已知，，则．

解:因为，，

所以.

故答案为：

2．下列向量中与共线的是（????）．

A． B． C． D．

解:对于A，，所以不共线，A错误；

对于B，，所以共线，B正确；

对于C，，所以不共线，C错误；

对于D，，所以不共线，D错误.

故选：B

3.已知平面向量，，若，则x=（????）

A． B． C． D．6

解：平面向量，，若，则，所以.

故选：B.

4.知向量，，在坐标纸（规定小方格的边长为1）中的位置

如图所示，则（????）

A． B．

C． D．

解：如图，建立平面直角坐标系，则,于是，.

对于A，，故A错误；

对于B，，故B错误；

对于C，，故C错误；

对于D，，故D正确.故选：D.

【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺.

（五）归纳总结

【设计意图】培养学生反思学习过程的能力

（六）布置作业

练习2.4.2；习题

练习2.4.2；习题2.4-A组2,5,6题