3.2.2 双曲线的几何性质（教案）-高二数学（高教版2023修订版拓展模块一上册）.docx

教学目标3.2.2双曲线的几何性质

教学目标

1.理解双曲线标准方程的求导过程，会根据标准方程判断焦点位置；

2. 掌握双曲线标准方程中参数之间的关系.

教学重难点教学重点：双曲线标准方程的推导

教学重难点

教材分析教学难点：双曲线图形的绘制．

教材分析

教学工具本节课是通过研究双曲线的标准方程来探究双曲线的简单几何性质，是本单元的重点内容之一，利用曲线方程研究曲线的性质，是解析几何的主要任务目的，通过本节课的学习，既让学生了解了双曲线的几何性质，又让学生初步体会了利用曲线方程来研究其性质的过程.

教学工具

教学课件

教学过程（一）

教学过程

1.范围2.对称性3.顶点4.离心率

前面，我们借助于椭圆的标准方程研究了椭圆的几何性质．那么，如何借助与双曲线的标准方程来研究双曲线的几何性质呢？

【设计意图】引导启发学生得出结果.

（二）探索新知

下面以为例,探究双曲线的几何性质.

1．范围

将双曲线的标准方程化为.

因为，所以由双曲线的标准方程知道，双曲线上的点的横坐标满足，即．于是有

x≤－a或x≥a．

这说明,双曲线的两支分别位于直线x=-a的左侧与直线x=a的右侧,如图所示.

2.对称性

在双曲线的标准方程中，将y换成－y，方程依然成立．这说明双曲线关于x轴对称．

同理可知，双曲线关于y轴对称，也关于坐标原点对称．x轴与y轴都叫做双曲线的对称轴，坐标原点叫做双曲线的对称中心（简称中心）．

3.顶点

在双曲线的标准方程中，令，得到．因此，双曲线与x轴有两个交点和．

双曲线和它的对称轴的交点叫做双曲线的顶点．因此和是双曲线的顶点．

令，得到，这个方程没有实数解，说明双曲线和y轴没有交点．但是，我们也将点与画出来．

线段，分别叫做双曲线的实轴和虚轴，它们的长分别为和．a和b分别表示双曲线的半实轴长和半虚轴长．

显然,双曲线的焦点、顶点与实轴都在同一个坐标轴上．

4．渐近线

经过分别作y轴的平行线x=－a，x=a，经过分别作x轴的平行线y=－b，y=b．这四条直线围成一个矩形．矩形的两条对角线所在的方程为

．

观察左图可以看出,双曲线的两支向外延伸时，分别与这两条直线逐渐接近但又永不相交,我们把这两条直线称为双曲线的渐近线.

双曲线的标准方程可以写成

，

可以看到，当|x|无限增大时，y的值无限接近于的值．这说明双曲线的两支曲线与两条直线无限接近（但不能相交）．

5．离心率

双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，记作e．即

．

因为，所以双曲线的离心率．

由

可以看到，e越大，的值越大，即渐近线的斜率的绝对值越大，这是双曲线的“张口”就越大．因此，离心率e的值可以刻画出双曲线“张口”的大小．

为什么冷却塔的塔身大多是双曲线的形状？

冷却塔做成双曲线形的是为了提高冷却的效率，底部有最大的圆周，可以最大限度地进入冷空气，冷空气到达最细部位时，接触热水，这时首先由于管径变小，空气流速加快，可以尽快的带走热水中的热量，其次由于管径变小，冷空气的体积也受到压缩，故压力也有增加，而压力增加流体的含热能力会随之增加，于是在细腰部冷空气可以最大限度的吸收热水的热量从而使热水冷却。到了最上部，管径再次扩大，已携带了大量热量的空气由于速度减慢，压力减小，又将所含的热量释放出来形成白色的水蒸气.

【设计意图】双曲线的范围和对称性易于直观判断，运用代数方法进行界定可以帮助学生习得几何问题代数化的思想方法，培养学生科学严谨的科学精神.

（三）典例剖析

例1.求双曲线4y2-16x2=64的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率与渐近线方程.

解:将方程化成标准方程为

因此双曲线的焦点在y轴上且故．

所以双曲线的实轴长为8，虚轴长为4，焦点为，顶点坐标为，离心率为，

渐近线方程为．

例2.求满足下列条件的双曲线的标准方程.

（1）一个焦点的坐标为(10,0),一条渐近线的方程为3x-4y=0；

（2）焦距为12,离心率为．

解:（1）由题设可知，双曲线的焦点在x轴上,渐近线的方程为

于是有

解得

因此，所求的双曲线的标准方程为

（2）由已知条件知，于是焦点在x轴上时．

双曲线的标准方程为．

焦点在y轴上时．

双曲线的标准方程为．

例3.用“描点法”画出双曲线的图形.

分析：由于双曲线具有对称性,一般只需先画出双曲线在第一象限内的图形,然后利用对称性,画出全部图形.

解:当y≥0时,双曲线的方程可以变形为,在[4,+∞)上,选取几个整数作为x的值,计算出对应的y值,列表

x

4

5

6

7

8

y

0

2.25

3.35

4.31

5.2

以表中的