安徽省宿州市2024-2025学年高三上学期期末教学质量检测数学试卷2.docx

宿州市2025届高三教学质量检测试题

数学试题

一?单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若，则（）

A. B. C. D.

2.若复数满足（为虚数单位），则（）

A. B.

C D.

3若，则（）

A. B. C. D.

4.将直线绕点顺时针旋转得到直线，则的方程是（）

A. B.

C. D.

5.若圆锥的轴截面是边长为1的等边三角形，则该圆锥外接球的表面积为（）

A. B. C. D.

6.已知平面向量，若在方向上的投影向量为，则实数（）

A.1 B. C.2 D.

7.已知椭圆的上顶点为，左焦点为，线段的中垂线与椭圆交于两点，则的周长为（）

A.8 B.12 C.16 D.24

8.若函数的图象上存在两对关于轴对称的点，则正实数的取值范围为（）

A. B. C. D.

二?多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.函数，则（）

A.

B.是函数图象的一条对称轴

C.的最大值为2

D.是偶函数

10.已知数列前项和为，且，则下列结论正确的是（）

A.为等比数列 B.为等差数列

C.为等比数列 D.

11.在椭圆（双曲线）中，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆（双曲线）的中心，这个圆被称为该椭圆（双曲线）的蒙日圆.已知双曲线的蒙日圆方程为为坐标原点，点在双曲线上，与双曲线的蒙日圆交于点，则（）

A.若点的坐标为，且的蒙日圆的半径为1，则的方程为

B.若点的坐标为，则的蒙日圆面积最大值为

C.的最小值为

D.若为的中点，则的离心率的最大值为

三?填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.两批同种规格的产品，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为，将两批产品混合，从混合产品中任取一件，则这件产品为次品的概率为__________.

13.四棱锥中，底面是边长为2菱形，，，则平面与平面夹角的余弦值为__________.

14.若不等式（是自然对数的底数）对任意恒成立，则当取最大值时，实数__________.

四?解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.已知中，.

（1）求角；

（2）是边上一点，且，求的长.

16.如图，正三棱柱中，为棱的中点，分别为棱上的点，且.

（1）证明：平面；

（2）求直线与平面夹角的正弦值.

17.已知函数（是自然对数的底数），为的导函数.

（1）求函数单调区间；

（2）若函数，求在上的最小值.

18.动圆与圆外切，且与直线相切，记该动圆心的轨迹为曲线.过的直线与交于两点，过点作的切线，设直线分别与直线交于点.

（1）求曲线的方程；

（2）证明：与的横坐标之积为定值；

（3）记的面积分别为，求的最大值.

19.甲，乙两人各有张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字，乙的卡片上分别标有数字.两人进行轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的得1分，数字小的得0分，然后各自弃置此轮所选卡片（弃置的卡片在之后的轮次中不能使用）.最终得分多的人获胜.

（1）当时，求甲获胜的概率；

（2）设轮比赛后甲的总得分为随机变量，记为的概率.

（i）求；