高中数学第一章导数及其应用1.4.1曲边梯形的面积与定积分.pptxVIP

曲边梯形面积与定积分

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教学目标

1.知识与技能：了解求简单曲边梯形（轴上方）面积普通求法（即“分割以

直代曲作和迫近”），在“以直代曲”方案比较中建构出定积分概念，初步了解定

积分几何意义，能利用定积分求曲边梯形面积.

2.过程与方法：在问题处理（求曲边梯形）过程中，体会“以直代曲”方法和

极限思想；在方案比较中建构数学知识；初步体会数学思维过程，学会猜测、

比较、验证.

3.情感态度与价值观：培养学生主动探求知识、合作交流意识，培养借助信息技

术探究数学问题意识，感受数学思维全过程，改进数学学习信念.

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一、情境创设

已知某物体做变速直线运动，设经过ts后运动速度为v(t)（单位：m/s），v(t)图

象如图1中曲线所表示，试求内物体运动总旅程.

由物理学知识可知，s即对应曲线下方“曲边梯形”面积.所以，问题即转化为求

怎样求一曲边梯形面积，假如说图（2）中“曲边梯形”面积可分解为三个梯形

面积，那么图（3）中“曲边梯形”面积又该怎样求呢？

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求直线和曲线所围成图形（曲边三角形）面积s

.

二、操作探究

活动1方案提出

几何画板演示

基本思想：

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1、分割

等分成

个小区间（思索：为何要等分区间？）：

，

，…，

，…，

,

活动2、方案落实（以左端点对应函数值为矩形边长为例）

把区间

，

，每个区间长度为

.

过各区间端点作

轴垂线，从而得到

个小曲边梯形，它们面积分别记作

，

，…，

.即

2、以直代曲

上小曲边梯形，以区间左端点

对应函数值

为一边长，以

为邻边长小矩形面积近似代替小曲边梯形面积，即

.

对区间

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3、作和

因为每个小矩形面积是对应小曲边梯形面积近似值，所以

个小矩形面积之和

就是所求曲边三角形面积

近似值，其中

.

4、迫近

（亦即

）时，

.

由

当分割无限变细，即

，从而

.

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活动3方案比较

三种方案，即分别以矩形ABCD、矩形ABEF、梯形ABDE来近似代替对应曲边梯形面积.

详细方案中即使面积会有差异即

，但当

时，其和式均无限趋近于同一结果，即均能用来求曲边梯形

所对应函数值

作为小矩形一边长.和式

近似表示曲边梯形面积.

面积（首先经过电脑操作让学生感受，同时借助公式简单推导从而强化认识）.从而可将“以直代曲”方案加以拓展，即能够取小区间内

任意一点

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三、概念揭示

对于普通函数

，能够采取上述方法求对应曲边梯形面积.

等分成

，个小区间，每个小区间长度为

以直代曲：在每个小区间上任取一点，依次为

，…，

；

分割：将区间

求和：

；

迫近：

（亦即

）时，

.

1、概念：称该常数S为函数

在区间

上定积分，记为

，其中

称为被积函数，

为积分区间，

称为积分下限，

为积分上限.

非负时，

即为

轴上方曲边梯形面积

2、定积分几何意义，当

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四、初步应用

例1、试用定积分表示以下曲边梯形面积，并借助于信息技术求出对应结果.

（1）、计算直线x=-4，x=2，y=0，和曲线

（1）、曲边梯形面积为

（2）、曲边梯形面积为

.

围成曲边梯形面积；

（2）、计算直线x=0，x=π，y=0，和曲线y=sinx围成曲边梯形面积.

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五、小结

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