新高考数学一轮复习考点探究与题型突破训练第07讲 函数的单调性与最值（解析版）.doc

第7讲函数的单调性与最值

1．函数的单调性

(1)单调函数的定义

增函数

减函数

定义

一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D?I，如果?x1，x2∈D

当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上是增函数

当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上是减函数

图象描述

自左向右看图象是上升的

自左向右看图象是下降的

(2)单调区间的定义

如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．

2．函数的最值

前提

设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足

条件

(1)?x∈I，都有f(x)≤M；

(2)?x0∈I，使得f(x0)＝M

(1)?x∈I，都有f(x)≥M；

(2)?x0∈I，使得f(x0)＝M

结论

M为最大值

M为最小值

考点1函数的单调性

[名师点睛]

确定函数单调性的四种方法

(1)定义法：利用定义判断．

(2)导数法：适用于初等函数可以求导的函数．

(3)图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．

(4)性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性．

[典例]

1．（2022·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间是（???????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

由题意，可得，解得或，

所以函数的定义域为，

二次函数的对称轴为，且在上的单调递增区间为，

根据复合函数的单调性，可知函数的单调递增区间是.

故选：B.

2．（2022·全国·高三专题练习）讨论函数（）在上的单调性.

【解】任取、，且，，则：

，

当时，，即，函数在上单调递减；

当时，，即，函数在上单调递增.

[举一反三]

1．（2022·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间是（???????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

令，解得，

令，则，

∵函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在定义域内递增，

∴根据复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间是

故选：C

2．（2022·全国·高三专题练习）函数单调递减区间是（???????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

令，．由，得．

因为函数是关于的递减函数，且时，为增函数，所以为减函数，

所以函数的单调减区间是．

故选：C.

3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则下列结论正确的是（???????）

A．递增区间是 B．递减区间是

C．递增区间是 D．递增区间是

【答案】D

【解析】

因为函数，作出函数的图象，

如图所示：

由图可知，递增区间是，递减区间是和．

故选：D．

4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的图象如图所示，则函数的单调递增区间为（???????）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【解析】

因为在上为减函数，所以只要求的单调递减区间，且.

由图可知，使得函数单调递减且满足的的取值范围是.

因此，函数的单调递增区间为、.

故选：C.

5．（2022·广西柳州·三模）下列函数在上是单调递增函数的是（???????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

选项A.函数在上只有单调增区间，但不是一直单调递增，故不满足；

选项B.由复合函数的单调性可知函数在上单调递减，故不满足；

选项C.函数在上单调递减，故不满足；

选项D.函数在上单调递增，故满足，

故选：D

6．（2022·全国·高三专题练习）函数y=|-x2+2x+1|的单调递增区间是_________；单调递减区间是_________．

【答案】????，????，

【解析】

作出函数y=|-x2+2x+1|的图像，如图所示，

观察图像得，函数y=|-x2+2x+1|在和上单调递增，在和上单调递减，

所以原函数的单调增区间是，，单调递减区间是，.

故答案为：，；，

7．（2022·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间是_____．

【答案】

【解析】

，解得，

令，

对称轴为，所以函数在为单调递增；在上单调递减.

所以函数的单调递增区间是.

故答案为：

8．（2022·福建·三模）写出一个同时具有下列性质①②③的函数________.

①定义域为；②值域为；③对任意且，均有.

【答案】（答案不唯一）

【解析】

，定义域为；，，值域为；

是增函数，满足对任意且，均有.

故答案为：（答案不唯一）.

9．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f（x）lg．判断并证明函数f（x）的单调性；

【解】由题意，，解得

故