新高考数学一轮复习考点探究与题型突破训练第38讲 数列的综合应用（解析版）.doc

第38讲数列的综合应用

考点1数学文化与数列的实际应用

[名师点睛]

数列应用问题常见模型

(1)等差模型：后一个量比前一个量增加(或减少)的是同一个固定值．

(2)等比模型：后一个量与前一个量的比是同一个固定的非零常数．

(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，那么应考虑an与

an＋1(或者相邻三项)之间的递推关系，或者Sn与Sn＋1(或者相邻三项)之间的递推关系．

[典例]

1．（2022·湖南·一模）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天（初始感染者传染个人为第一轮传染，经过一个周期后这个人每人再传染个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据：，）（???????）

A．35 B．42 C．49 D．56

【答案】B

【分析】根据题意列出方程，利用等比数列的求和公式计算n轮传染后感染的总人数，得到指数方程，求得近似解，然后可得需要的天数.

【详解】感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要n轮传染,

则每轮新增感染人数为，

经过n轮传染，总共感染人数为：，

∵，∴当感染人数增加到1000人时，，化简得，

由，故得，又∵平均感染周期为7天，

所以感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要天，

故选：B

2．（2022·山东青岛·一模）我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和恰好重1斤．问原来持金多少？”．记这个人原来持金为斤，设，则（???????）

A． B．7 C．13 D．26

【答案】C

【分析】根据题意求得每次收的税金，结合题意得到，求得的值，代入函数的解析式，即可求解.

【详解】由题意知：这个人原来持金为斤，

第1关收税金为：斤；第2关收税金为斤；

第3关收税金为斤，

以此类推可得的，第4关收税金为斤，第5关收税金为斤，

所以，

即，解得，

又由，所以.

故选：C.

[举一反三]

1．（2022·辽宁·沈阳二中模拟预测）我们知道，偿还银行贷款时，“等额本金还款法”是一种很常见的还款方式，其本质是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期的还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率．自主创业的大学生张华向银行贷款的本金为48万元，张华跟银行约定，按照等额本金还款法，每个月还一次款，20年还清，贷款月利率为，设张华第个月的还款金额为元，则（???????）

A．2192 B． C． D．

【答案】D

【分析】计算出每月应还的本金数，再计算第n个月已还多少本金，由此可计算出个月的还款金额.

【详解】由题意可知：每月还本金为2000元，

设张华第个月的还款金额为元，

则，

故选：D

2．（2022·全国·高三专题练习）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，而是逐项差数之差或者高次差相等.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有一个高阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，61，95，则该数列的第8项为（???????）

A．99 B．131 C．139 D．141

【答案】D

【分析】根据题中所给高阶等差数列定义，找出其一般规律即可求解.

【详解】设该高阶等差数列的第8项为，

根据所给定义，用数列的后一项减去前一项得到一个数列，得到的数列也用后一项减去前一项得到一个数列，即得到了一个等差数列，如图：

由图可得，则.

故选：D

3．（多选）（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟预测）市民小张计划贷款60万元用于购买一套商品住房，银行给小张提供了两种贷款方式.方式①：等额本金，每月的还款额呈递减趋势，且从第二个还款月开始，每月还款额与上月还款额的差均相同；方式②：等额本息，每个月的还款额均相同.银行规定，在贷款到账日的次月当天开始首次还款（若2021年7月7日贷款到账，则2021年8月7日首次还款）.已知小张该笔贷款年限为20年，月利率为0.004，则下列说