新高考数学一轮复习考点探究与题型突破训练第58讲 二项式定理（原卷版）.doc

第58讲二项式定理

1．二项式定理

二项式定理

(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b1＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)

二项展开式的通项

Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk，它表示展开式的第k＋1项

二项式系数

Ceq\o\al(k,n)(k＝0,1，…，n)

2.二项式系数的性质

(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．

(2)增减性与最大值：当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值．

(3)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和等于2n.

常用结论

1．两个常用公式

(1)Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.

(2)Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝2n－1.

2．二项展开式的三个重要特征

(1)字母a的指数按降幂排列由n到0.

(2)字母b的指数按升幂排列由0到n.

(3)每一项字母a的指数与字母b的指数的和等于n.

考点1通项公式的应用

[名师点睛]

(1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项即可．

(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．

[典例]

1.（2022·北京市第一零九中学高三阶段练习）的展开式中的系数为（????）

A．20 B．-40 C．40 D．-10

2.（2022·江苏·海安高级中学高三阶段练习）的展开式中的系数为（????）

A． B． C． D．

3.（2022·山东青岛·高三开学考试）在的展开式中，常数项为（????）

A．80 B． C．160 D．

[举一反三]

1．（2022·广东·珠海市第三中学二模）的展开式中，的系数为（????）

A． B． C． D．

2．（2022·河北·高三阶段练习）关于二项式，若展开式中含的项的系数为，则（????）

A．3 B．2 C．1 D．-1

3.（2022·全国·高考真题）的展开式中的系数为________________（用数字作答）．

4．（2022·天津·高考真题）的展开式中的常数项为______.

考点2二项式系数与项的系数的问题

[名师点睛]

赋值法的应用

一般地，对于多项式(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令g(x)＝(a＋bx)n，则(a＋bx)n的展开式中各项的系数和为g(1)，(a＋bx)n的展开式中奇数项的系数和为eq\f(1,2)[g(1)＋g(－1)]，(a＋bx)n的展开式中偶数项的系数和为eq\f(1,2)[g(1)－g(－1)]．

[典例]

1．（2022·全国·模拟预测）已知的二项展开式中，第三项与第项的二项式系数和为84，则第四项的系数为（????）

A．280 B．448 C．692 D．960

2．（2022·广东广州·高三阶段练习）若的展开式中第2项与第6项的二项式系数相等，则该展开式中的常数项为（????）

A． B．160 C． D．1120

3．（2022·北京·高考真题）若，则（????）

A．40 B．41 C． D．

[举一反三]

1．（2022·江苏常州·高三阶段练习）已知，则的值为（????）

A． B．0 C．1 D．2

2．（2022·北京市广渠门中学高三阶段练习）若的展开式中的第项和第项的二项式系数相等，则展开式中的系数为（????）

A． B．

C． D．

3．（2022·福建省漳州第一中学模拟预测）已知（为常数）的展开式中所有项系数的和与二项式系数的和相等，则该展开式中的常数项为（????）

A．90 B．10 C．10 D．90

4．（2022·江苏南通·高三开学考试）在的二项展开式中，奇数项的系数之和为（????）

A． B． C． D．

5．（多选）（2022·湖北·黄冈中学高三阶段练习）已知，则（????）

A．

B．

C．

D．

6．（2022·浙江·高考真题）已知多项式，则__________，___________．

7．（2022·浙江省苍南中学高三阶段练习）的展开式中不含的各项系数之和______.

考点3系数与二项式系数的最值问题

[名师点睛]

二项式系数最大项的确