新高考数学一轮复习考点探究与题型突破训练第62讲　二项分布、超几何分布与正态分布（原卷版）.doc

第62讲二项分布、超几何分布与正态分布

一、二项分布

1．伯努利试验

只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．

2．二项分布

一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0p1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.

如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)．

3．两点分布与二项分布的均值、方差

(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．

(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．

二、超几何分布

一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为

P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中，n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，

r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．

三、正态分布

1．定义

若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))·，x∈R，其中μ∈R，σ0为参数，

则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．

2．正态曲线的特点

(1)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；

(2)曲线在x＝μ处达到峰值eq\f(1,σ\r(2π))；

(3)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．

3．3σ原则

(1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；

(2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；

(3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.

4．正态分布的均值与方差

若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2.

考点1二项分布

[名师点睛]

判断某随机变量是否服从二项分布的关键点

(1)在每一次试验中，事件发生的概率相同.

(2)各次试验中的事件是相互独立的.

(3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生.

[典例]

(2022·武汉调研)为贯彻“不忘立德树人初心，牢记为党育人、为国育才使命”的要求，某省推出的高考新方案是“3＋1＋2”模型，“3”是语文、外语、数学三科必考，“1”是在物理与历史两科中选择一科，“2”是在化学、生物、政治、地理四科中选择两科作为高考科目.某学校为做好选课走班教学，给出三种可供选择的组合进行模拟选课，其中A组合：物理、化学、生物，B组合：历史、政治、地理，C组合：物理、化学、地理，根据选课数据得到，选择A组合的概率为eq\f(3,5)，选择B组合的概率为eq\f(1,5)，选择C组合的概率为eq\f(1,5)，甲、乙、丙三位同学每人选课是相互独立的.

(1)求这三位同学恰好选择互不相同的组合的概率；

(2)记η表示这三人中选择含地理的组合的人数，求η的分布列及数学期望.

[举一反三]

1.(2022·武汉联考)在一次国际大型体育运动会上，某运动员报名参加了其中3个项目的比赛．已知该运动员在这3个项目中，每个项目能打破世界纪录的概率都是eq\f(2,3)，那么在本次运动会上：

(1)求该运动员至少能打破2项世界纪录的概率；

(2)若该运动员能打破世界纪录的项目数为X，求X的分布列及均值．

2.(2022·黄冈模拟)某公司为了解会员对售后服务(包括退货、换货、维修等)的满意度，从下半年的会员中随机调查了20个会员，得到会员对售后服务满意度评分的雷达图如图所示．规定评分不低于80分为满意，否则为不满意．

(1)求这20个会员对售后服务满意的频率；

(2)以(1)中的频率作为所有会员对该公司售后服务满意的概率，假设每个会员的评价结果相互独立，现从下半年的所有会员中随机选取3个会员．

①求只有1个会员对售后服务不满意的概率；

②记这3个会员中对售后服务满意的会员的个数为X，求X的均值与标准差(标准差的结果精确到0.1)．

考点2超几何分布

[名师点睛]

(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是：

①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布.

(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型.

[典例]

2021年5月30日清晨5时01分，天舟二号货运飞船在成功发射约8小时后，中国航天器的“浪漫之吻”再度在太空上演，天舟二号货运飞船与中国空间站天和