高考备考资料之数学人教A版全国用讲义第七章不等式72.docx

§7.2一元二次不等式及其解法

必威体育精装版考纲

考情考向分析

1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型．

2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．

3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.

以理解一元二次不等式的解法为主，常与集合的运算相结合考查一元二次不等式的解法，有时也在导数的应用中用到，加强函数与方程思想，分类讨论思想和数形结合思想的应用意识．本节内容在高考中常以选择题的形式考查，属于低档题，若在导数的应用中考查，难度较高.

1．“三个二次”的关系

判别式Δ＝b2－4ac

Δ0

Δ＝0

Δ0

二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a0)的根

有两相异实根x1，x2(x1x2)

有两相等实根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)

没有实数根

一元二次不等式ax2＋bx＋c0(a0)的解集

{x|xx1或xx2}

eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))

{x|x∈R}

一元二次不等式ax2＋bx＋c0(a0)的解集

{x|x1xx2}

?

?

2.常用结论

(x－a)(x－b)0或(x－a)(x－b)0型不等式的解法

不等式

解集

ab

a＝b

ab

(x－a)·(x－b)0

{x|xa或xb}

{x|x≠a}

{x|xb或xa}

(x－a)·(x－b)0

{x|axb}

?

{x|bxa}

口诀：大于取两边，小于取中间．

知识拓展

(1)eq\f(f?x?,g?x?)0(0)?f(x)·g(x)0(0)．

(2)eq\f(f?x?,g?x?)≥0(≤0)?f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.

以上两式的核心要义是将分式不等式转化为整式不等式．

题组一思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)若不等式ax2＋bx＋c0的解集为(x1，x2)，则必有a0.(√)

(2)若不等式ax2＋bx＋c0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.(√)

(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c0的解集为R.(×)

(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a0且Δ＝b2－4ac≤0.(×)

(5)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c0的解集一定不是空集．(√)

题组二教材改编

2．[P80A组T4]已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－6≤0}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4－x,x＋1)≤0))))，那么集合A∩(?UB)等于()

A．[－2,4) B．(－1,3]

C．[－2，－1] D．[－1,3]

答案D

解析因为A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x－1或x≥4}，

故?UB＝{x|－1≤x4}，所以A∩(?UB)＝{x|－1≤x≤3}，故选D.

3．[P80A组T2]y＝log2(3x2－2x－2)的定义域是________________．

答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1－\r(7),3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋\r(7),3)，＋∞))

解析由题意，得3x2－2x－20，

令3x2－2x－2＝0，得x1＝eq\f(1－\r(7),3)，x2＝eq\f(1＋\r(7),3)，

∴3x2－2x－20的解集为

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1－\r(7),3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋\r(7),3)，＋∞)).

题组三易错自纠

4．不等式－x2－3x＋40的解集为________．(用区间表示)

答案(－4,1)

解析由－x2－3x＋40可知，(x＋4)(x－1)0，

得－4x1.

5．若关于x的不等式ax2＋bx＋20的解集是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,3)))，则a＋b＝________.

答案－14

解析∵x1＝－eq\f(1,2)，x2＝eq\f(1,3)是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根，

∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)－\f(b,2)＋2＝0，,\f(a,9)＋\f(b,3