北京市北京交通大学附属中学2025届高三下学期2月开学诊断练习数学试题[含答案].docx

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北京市北京交通大学附属中学2025届高三下学期2月开学诊断练习数学试题

一、单选题（本大题共9小题）

1．已知集合，，则（????）

A． B．

C． D．

2．已知，，，则（????）

A． B．

C． D．

3．若，则（????）

A．1 B．2 C． D．

4．设，且，则（????）

A． B．

C． D．

5．已知抛物线C：的焦点为F，准线为，P是上一点，Q是直线PF与C得一个交点，若，则（????）

A． B． C． D．

6．已知，为圆（）上两个不同的点（为圆心），且满足，则

A． B． C． D．

7．设，若为函数的极大值点，则（????）

A． B． C． D．

8．已知是无穷等比数列，则“存在，使得，”是“对任意，均有”的（????）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

9．双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布.在平面直角坐标系中，把到定点距离之积等于的点的轨迹称为双纽线.已知点是双纽线上一点，下列说法正确的个数是（????）

①双纽线既有对称轴，也有对称中心；

②；

③双纽线上满足的点只有1个；

④的最大值为.

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题（本大题共5小题）

10．设，则．

11．已知双曲线的渐近线方程为，则.

12．设，．若对任意的实数x都有，则满足条件的所有可能的取值为．

13．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有这样一个相关的问题：将1到2025这2025个自然数中满足被3除余2且被5除余4的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列的项数是.

14．如果函数满足对任意、，有，则称为优函数.给出下列四个结论：

①为优函数；

②若为优函数，则；

③若为优函数，则在上单调递增；

④若在上单调递减，则为优函数.

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题（本大题共6小题）

15．已知分别为内角的对边，满足，点为直线BC上一动点.

(1)求A；

(2)已知，从①；②；③这三个条件中任选一个，使得存在且唯一确定，求线段长度的最小值.

16．如图（1），等腰直角三角形的底边，点在线段上，于，现将沿折起到的位置（如图（2））.

(1)求证：；

(2)若，直线与平面所成的角为，求长；

(3)设平面平面，试判断与平面的位置关系，并说明理由.

17．人工智能是一门极富挑战性的科学，自诞生以来，理论和技术日益成熟．某校成立了、两个研究性小组，分别设计和开发不同的软件用于识别音乐的类别：“古典音乐”、“流行音乐”和“民族音乐”．为测试软件的识别能力，计划采取两种测试方案．

方案一：将首音乐随机分配给、两个小组识别．每首音乐只被一个软件识别一次，并记录结果；

方案二：对同一首音乐，、两组分别识别两次，如果识别的正确次数之和不少于三次，则称该次测试通过．

(1)若方案一的测试结果显示：正确识别的音乐数之和占总数的；在正确识别的音乐数中，组占；在错误识别的音乐数中，组占．

（i）用频率估计概率，两个研究性小组的软件每次能正确识别音乐类别的概率分别为多少？

（ii）利用（i）中的结论，求方案二在一次测试中获得通过的概率：

(2)若方案一的测试结果如下：

音乐类别

小组

小组

测试音乐数量

正确识别比例

测试音乐数量

正确识别比例

古典音乐

流行音乐

民族音乐

在小组、小组识别的歌曲中各任选首，记、分别为小组、小组正确识别的数量，试比较、的大小（直接写出结果即可）．

18．已知椭圆的左顶点为，且经过点.

(1)求椭圆的标准方程及其离心率；

(2)设过点的直线交于、两点，过点且平行于y轴的直线与线段交于点，点满足，证明：直线过定点.

19．设函数，曲线在点处的切线方程为．

(1)求实数的值；

(2)求函数的单调区间；

(3)求函数的零点的个数.

20．已知数列，记集合.

(1)若数列为，数列为，分别写出集合；

(2)若，是否存在，使得？若存在，求出一组符合条件的；若不存在，说明理由；

(3)若，把集合中的元素从小到大排列，得到的新数列为，若，求的最大值.

参考答案

1．【答案】D

【详解】不等式，解得，则，

所以.

故选：D

2．【答案】C

【详解】，，，

故，

故选：C.

3．【答案】D

【详解】由，

令，则，即，

令，则，

即

所以.

故选：D.

4．【答案】C

【分析】举反例即可求解ABD,根据导数求证即可判断C.

【详解】对于A：取，则，故A错误；

对于B：，则，故B错误；

对于