河北省保定市定州中学2024-2025学年高三下学期开学考试数学试题.docx

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数学

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合，，则（）

A. B. C. D.

2.若，则（）

A. B. C. D.

3.函数的部分图象大致为（）

A B.

C. D.

4.在正四棱台中，已知，该正四棱台的体积为168，则（）

A.3 B.4 C.5 D.6

5.设函数在区间上单调递减，则的最大值为（）

A.2 B.3 C.4 D.5

6.现安排甲、乙、丙三位同学在星期一到星期六值日，每人两天，且都不连续值日的不同方法种数为（）

A.6 B.15 C.20 D.30

7.已知双曲线：（，）的右焦点为，其中一条渐近线上存在一点，使得另一条渐近线垂直平分线段，则双曲线的离心率为（）

A.2 B. C. D.4

8.若函数定义域内存在，（），使得成立，则称为“完整函数”．已知（）是上的“完整函数”，则的取值范围为（）

A. B.

C. D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.某机构调查了一个工业园区内的小型民营企业年收入情况，并将所得数据按，，…，分成六组，画出了样本频率分布直方图，则下列结论正确的是（）

A.该工业园区内年收入落在区间内的小型民营企业的频率为0.55

B.样本中年收入不低于500万元的小型民营企业的个数比年收入低于500万元的个数少

C.规定年收入在400万元以内（不含400万元）的民营企业才能享受减免税政策，则该工业园区有70%的小型民营企业能享受到减免税政策

D.估计样本中小型民营企业年收入的中位数等于平均数

10.已知函数，且是的一个极值点，下列说法正确的是（）

A.实数的值为1或

B.在上单调递增

C.若是的一个极小值点，则当时，

D.若是的一个极大值点，则当时，

11.如图，该图展现的是一种被称为“正六角反棱柱”的多面体，上、下两底面分别是两个全等且平行的正六边形，，它们的中心分别为，，侧面由12个全等的以正六边形的边为底的等腰三角形组成．若该“正六角反棱柱”的各棱长都为2，则下列命题正确的是（）

A.异面直线与所成的角为

B.平面

C.该多面体外接球的表面积为

D.直线与下底面所成角的正弦值为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知向量满足，则______．

13.已知抛物线：的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，与准线交于点，，则直线的斜率为______，______．

14.在中，角，，的对边分别为，，．已知，，，则______．

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知函数．

（1）当时，求的图象在点处的切线方程；

（2）讨论的单调性，并求当的极大值等于时，实数的值．

16.一家调查机构在某地随机抽查1000名成年居民对新能源车与燃油车的购买倾向，得到如下表格：

倾向于购买燃油车

倾向于购买新能源车

合计

女性居民

150

250

400

男性居民

350

250

600

合计

500

500

1000

（1）依据小概率值的独立性检验，分析对新能源车与燃油车的购买倾向是否存在性别差异；

（2）从倾向于购买燃油车的居民中按性别采用分层随机抽样的方法抽取10人，再从中抽取4人进行座谈，求在有女性居民参加座谈的条件下，恰有2名男性居民也参加座谈的概率；

（3）从所有参加调查的男性居民中按购买这两种车的倾向性，采用分层随机抽样的方法抽出12人，再从中随机抽取3人进行座谈，记这3人中倾向于购买新能源车的居民人数为，求的分布列与数学期望．

参考公式：，其中．

参考数据：

0.1

005

0.01

0005

0.001

2.706

3.841

6635

7.879

10.828

17.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，是的中点，点在线段上．

（1）证明：平面．

（2）若平面，，，，平面与平面夹角的余弦值为，求的值．

18.已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，焦距为，圆与椭圆相交于，两点