河北省部分学校2024−2025学年高三下学期开学考试数学试题[含答案].docx

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河北省部分学校2024?2025学年高三下学期开学考试数学试题

一、单选题（本大题共8小题）

1．若集合则（????）

A． B．

C． D．

2．已知复数z与都是纯虚数（为虚数单位），则（????）

A．i B． C．2i D．

3．若非零向量满足，则（????）

A． B．

C． D．

4．甲、乙两地一周每天的最高气温单位：如下：

甲：5，4，7，6，9，7，5；

乙：6，4，5，6，6，6，5；

则以下关于甲、乙两地最高气温比较的统计结论错误的是（????）

A．甲地最高气温的平均数大于乙地最高气温的平均数

B．甲地最高气温的中位数大于乙地最高气温的中位数

C．甲地最高气温的极差大于乙地最高气温的极差

D．甲地最高气温的方差大于乙地最高气温的方差

5．已知圆A，B是圆上的两个动点，O为坐标原点则的最小值为（????）

A． B． C． D．1

6．已知椭圆的左、右焦点分别为线段上有一点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于B,C两点，且则椭圆C的离心率为（????）

A． B． C． D．

7．设表示不超过x的最大整数，如已知数列满足为数列的前n项和，则（????）

A．18204 B．18214 C．23324 D．29445

8．已知中，若内一点满足，则（????）

A． B． C． D．

二、多选题（本大题共3小题）

9．已知则下列不等式中一定正确的是（????）

A． B． C． D．

10．已知函数的零点构成一个公差为的等差数列，将的图象向右平移个单位长度，得到的图象，则下列说法正确的是（????）

A．

B．是函数图象的一个对称中心

C．函数在上单调递减

D．若方程在上有两个不等实根，则

11．在正四棱台中，，，，点为棱中点，则（????）

A．该棱台的高为

B．该棱台的体积为

C．过点有无数条直线与直线和所成角相等

D．过点有且只有一条直线与直线和都相交

三、填空题（本大题共3小题）

12．若则的值为.

13．把除颜色外完全相同的5个红球和4个白球排成一行，则恰有3个红球相邻在一起的不同排法种数为用数字作答

14．在直角中D是内的动点，将绕着点C顺时针方向旋转得到则的最小值为.

四、解答题（本大题共5小题）

15．在平面四边形中,

将沿AC翻折至且满足

(1)求证：平面

(2)求二面角的正弦值.

16．已知双曲线的实轴长为，直线为双曲线的一条渐近线.

(1)求双曲线的标准方程；

(2)设直线与双曲线交于不同的两点为坐标原点，且，过作，垂足为，问是否存在点使得为定值?若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由.

17．12月4日是国家宪法日，为进一步弘扬宪法精神，推动宪法的全面贯彻落实，营造尊法学法守法用法的浓厚氛围，某部门对A，B两所学校就宪法相关知识做问卷调查，两所学校一共随机调查了500名学生，其中被调查的A校中回答优秀的同学占，得到以下的列联表：

回答不优秀

回答优秀

合计

A校学生

B校学生

200

100

合计

500

(1)根据以上数据，完成列联表，依据小概率的独立性检验，能否认为学生对宪法知识的了解情况与两所学校普法宣传有关；

(2)用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在从B校学生中随机抽取50名，记回答优秀的人数为X，求使事件“”概率最大的k的取值.

参考公式：其中.

参考数据：

18．已知函数

(1)讨论的单调性；

(2)当时.

（ⅰ）求曲线的斜率为e的切线方程；

（ⅱ）当时，，证明：

19．算数基本定理，也被称为唯一分解定理或质因数分解定理，可以表述为：任何一个大于1的自然数N，如果N不为质数，那么N可以唯一分解成有限个质数的乘积，即其中均为质数均为正整数，且这样的分解称为N的标准分解式.

(1)求99225的标准分解式只写出结果即可；

(2)请结合算数基本定理证明：一个大于1的正整数为完全平方数的充要条件为这个正整数的标准分解式中任何一个质因子的次数为偶数；

(3)给定正整数p，q，r，数列定义如下：对整数记

证明：数列中有无穷多项是完全平方数.

参考答案

1．【答案】B

【详解】因为集合

所以，

所以.

故选：B.

2．【答案】A

【详解】因为复数z是纯虚数，

设，则，

又因为复数是纯虚数，

则，解得，所以.

故选：A.

3．【答案】A

【详解】因为，所以，所以，

又向量为非零向量，

所以，

即，故A正确，B错误；

，无法确定与0的大小，故C、D均错误.

故选：A.

4．【答案】B

【详解】甲乙两地最高气温由小到大排列，填入表格如下：

甲

4

5

5

6

7

7

9

乙

4

5

5

6

6

6

6

由数据对比知道，甲地最高气温的平均数大于乙地最高气温的平均数，A正确；

甲的中位数为6，乙的中位数为