河北省沧衡名校联盟2024−2025学年高三下学期开学考试数学试题[含答案].docx

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河北省沧衡名校联盟2024?2025学年高三下学期开学考试数学试题

一、单选题（本大题共8小题）

1．若集合，，则（???）

A． B． C． D．

2．若复数z满足，为复数z的共轭复数，则（???）

A．-1 B．1 C．-i D．i

3．一个骰子投掷两次，两次点数之和等于8的概率为（???）

A． B． C． D．

4．已知中，点为上一点，为的平分线，，若，，则（???）

A． B． C． D．

5．已知函数的最小正周期T满足，且该函数的图象关于点中心对称，则的值为（???）

A．1 B． C． D．

6．已知双曲线的渐近线与圆在第一象限交于点，点为的左焦点，且的中点在该双曲线的渐近线上，则该双曲线的离心率为（???）

A． B． C． D．2

7．已知定义域为的函数，若对定义域中任意，都有，且，则（???）

A． B． C． D．0

8．已知四棱锥中，底面是周长为的矩形，点为与的交点，且底面，平面与平面的夹角的余弦值为，则四棱锥的体积的最大值为（???）

A． B． C． D．

二、多选题（本大题共3小题）

9．已知等差数列的前n项和为，满足，，则下列说法正确的是（???）

A．

B．

C．

D．记，的前n项和为，则

10．已知，，且，则下列说法正确的是（???）

A．的最小值为 B．的最小值为3

C．的最小值为 D．的最小值为

11．已知，B，C三点都在抛物线C：上，抛物线C的焦点为F，则下列说法正确的是（???）

A．点F的坐标为

B．若，O为坐标原点，则直线BC过定点

C．若的重心为F，则直线BC的方程为

D．若直线AB，AC是圆的两条切线，则直线BC的斜率为

三、填空题（本大题共3小题）

12．棱长为2的正方体的外接球表面积与内切球表面积的比值为．

13．已知曲线与直线有两个公共点，则实数k的取值范围为．

14．已知数列满足，，，，则．

四、解答题（本大题共5小题）

15．已知中，内角所对的边分别为，且满足．

(1)求角的值；

(2)若点为的中点，求的值．

16．已知函数，．

(1)讨论函数的单调性；

(2)若关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围．

17．如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，侧棱底面ABCD，，，，，点M是棱SC的中点．

(1)求证：平面；

(2)求直线SA与平面所成角的正弦值；

(3)求平面与平面夹角的大小．

18．在平面直角坐标系中，已知点，直线与x轴交于点K，动点M满足，记点M的轨迹为曲线C．

(1)求曲线C的方程；

(2)已知过坐标原点O且斜率为的直线与曲线C交于，两点，过点F且斜率为的直线与圆O：交于，两点，且，在x轴同侧．

①求证：；

②若点关于O的对称点为，请探究：当k变化时，直线与曲线C的位置关系，并说明理由．

19．已知数列G：，若满足（其中k为常数，），则称数列G为k常数型数列．

(1)若数列，，，2，6为k常数型数列，求，，k的值；

(2)若数列G为k常数型数列，（其中c为正整数），且满足，求证：数列G中至少存在两个相等的项；

(3)已知数列G为递增数列，且，n为奇数，若，，则为数列G中的项，求证：数列G为等差数列．

参考答案

1．【答案】B

【详解】由，解得，所以集合，

由，解得，所以集合，

所以．

故选：B．

2．【答案】D

【详解】根据题意，由，可得，所以．

故选：D．

3．【答案】B

【详解】根据题意，两次点数之和等于8的情况有，，，，，共5种，

一个骰子投掷两次的所有情况为（种）．所以所求概率为.

故选：B．

4．【答案】D

【详解】根据题意，为的平分线，，

则点到的距离相等，得，

即，所以，

所以，

即．

故选：D．

5．【答案】C

【详解】根据题意，，因为，所以，计算可得，

又函数的图象关于点中心对称，所以，

所以，，

计算可得，，因为，

所以当时，.

故选：C．

6．【答案】D

【详解】因为点P在第一象限，且点P为双曲线C的渐近线与圆的交点，

则，解得或，所以点P的坐标为，

因为点Q为PF的中点，所以点Q的坐标为，

又点Q在直线上，所以，得，

所以该双曲线的离心率为．

故选：D．

7．【答案】A

【详解】因为对定义域中任意m，n，都有，

所以，其中．

令，得，则；

令，得，则．

函数的定义域为，

令，，得，则，

所以函数是奇函数；

令，，得．

因为，所以．

令，，得．

又函数是奇函数，所以，所以．

故选：A．

8．【答案】A

【详解】根据题意，点为与的交点，且底面，

所以，

所以，又因为底面是周长为的矩形，

设，则，所以矩形的面积为，

又因为平面与平面的夹角的余弦值为，

取点为的中点，连接，可得，，

所以为平面与平面的夹角，所以，

所以，又因为，所以，

所以四棱锥的体积

，

设，则