河北省昌黎第一中学2024−2025学年高三下学期开学收心考试数学试题[含答案].docx

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河北省昌黎第一中学2024?2025学年高三下学期开学收心考试数学试题

一、单选题（本大题共8小题）

1．已知复数，则的实部是（????）

A． B． C． D．

2．设向量.若，则（????）

A．4 B．3 C．2 D．1

3．下列函数中，以为周期且在区间上单调递增的是（???）

A． B． C． D．

4．已知数列是首项为，公差为的等差数列，前项和为，满足，则（???）

A． B． C． D．

5．函数的图象大致为（????）

A． B．

C． D．

6．已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（????）

A． B．

C． D．

7．如图，三棱锥V－ABC中，VA⊥底面ABC，，，则该三棱锥的内切球和外接球的半径之比为（????）

A． B．

C． D．

8．已知函数，若，，使成立，则实数的取值范围为（???）

A． B．

C． D．

二、多选题（本大题共3小题）

9．已知集合，，，则（????）

A． B．

C． D．

10．已知函数，则（????）

A．有两个极值点

B．有一个零点

C．点是曲线的对称中心

D．直线是曲线的切线

11．设焦点为的抛物线的准线为，为上一点，，过点的直线与交于，两点，则（????）

A． B．的最小值为8

C．以为直径的圆与相切 D．上存在点，使得为正三角形

三、填空题（本大题共3小题）

12．二项式的展开式中的系数是.

13．已知均为锐角，且，，则．

14．有一种珍惜物种，对于其每个个体，每天都会发生如下事件：有的概率消失，有的概率保持不变，有的概率分裂成两个，对所有新产生的生物每天也会发生上述事件，假设开始只有一个这样的珍惜生物，若希望最终这种生物灭绝的概率不超过，则的最大值为．

四、解答题（本大题共5小题）

15．为了调查学生喜欢跑步是否与性别有关，高三年级特选取了200名学生进行了问卷调查，得到如下的列联表：

喜欢跑步

不喜欢跑步

合计

男生

80

女生

20

合计

已知在这200名学生中随机抽取1人抽到喜欢跑步的概率为0.6．

(1)判断：是否有90%的把握认为喜欢跑步与性别有关？

(2)从上述不喜欢跑步的学生中用分层抽样的方法抽取8名学生，再在这8人中抽取3人调查其喜欢的运动，用X表示3人中女生的人数，求X的分布及数学期望．

附：，其中．

16．如图所示，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，点为棱的中点.

(1)求证：平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

17．已知为圆上任意一点，点，线段的垂直平分线与交于点，记点的轨迹为.

(1)求的方程；

(2)过点作直线（与轴不重合）与相交于点，，直线与轴交于点，，求的方程.

18．已知函数（其中）.

(1)当时，求函数的图象在处的切线方程；

(2)若恒成立，求的取值范围；

(3)设，且函数有极大值点，求证：.

19．定义：对于数列，若存在常数，对任意的都有，则称数列为和谐数列.

(1)已知数列，判断是否为和谐数列，并说明理由；

(2)设是数列的前项和，证明：若是和谐数列，则也是和谐数列；

(3)若，都是和谐数列，证明也是和谐数列.

参考答案

1．【答案】A

【详解】依题意，，

所以的实部为.

故选：A

2．【答案】A

【详解】因为，

所以，

解得：，

故选：A

3．【答案】B

【详解】对于A，由可知函数在上不是单调递增的，故A错误；

对于B，的周期为，且当时，有，故函数在上单调递增，故B正确；

对于C，由可知不以为周期，故C错误；

对于D，的周期为，由可知函数在上不是单调递增的，故D错误.

故选：B

4．【答案】C

【详解】由于，故，所以．

故选：C

5．【答案】A

【分析】根据函数的奇偶性与正负值排除判定即可.

【详解】函数,

故函数是奇函数,图象关于原点对称，排除C、D，

当，排除B.

故选A.

6．【答案】D

【详解】如图，

??

因为，不妨设渐近线方程为，即，

所以，

所以.

设,则，所以，所以.

因为,所以，所以，所以，

所以，

因为，

所以，

所以，解得，

所以双曲线的方程为

故选：D

7．【答案】C

【详解】因为VA⊥底面ABC，底面ABC，所以，

又因为，所以，而，

所以三条互相垂直且共顶点的棱，可以看成正方体中，共顶点的长、宽、高，

因此该三棱锥外接球的半径，设该三棱锥的内切球的半径为，

因为，所以，

因为，，所以

，

由三棱锥的体积公式可得：

，

所以，

故选：C

8．【答案】A

【详解】若，，使成立，

则在上的取值范围要包含上的取值范围，

当时，，，

当时，，，

当时，，不合题意，

当时，，函数在单调递增，

则时，，

符合题意，

当时，我们进行如下讨论，

若时，