河北省昌黎第一中学2025届高三第三次调研考试数学试卷[含答案].docx

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2025届河北省昌黎第一中学高三第三次调研考试数学试卷

一、单选题（本大题共9小题）

1．已知集合，，则（???）

A． B． C． D．

2．已知复数（i为虚数单位），则（???）

A． B． C． D．

3．已知等比数列中，，公比，则（????）

A． B． C． D．

4．《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.”题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.如果墙足够厚，第天后大老鼠打洞的总进度是小老鼠的4倍，则的值为（????）

A．5 B．4 C．3 D．2

5．已知数列满足，，则（????）

A． B． C． D．

6．将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象，则的值为（????）

A． B． C． D．

7．已知数列满足，且，则当取得最大值时，（）

A． B． C． D．

8．已知数列中，其前项和为，且满足，数列的前项和为，若对恒成立，则实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．

9．已知复数，复数，，，所对应的向量分别为，，其中O为坐标原点，则以下命题错误的是（????）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

二、多选题（本大题共2小题）

10．在等比数列中，，，，若为的前项和，为的前项积，则（????）

A．为单调递增数列 B．

C．为的最大项 D．无最大项

11．已知数列中，，对于任意的，都有，则下列说法正确的是（????）

A．是单调递减数列

B．的前n项和

C．若正整数k满足，则

D．存在正整数，使成等差数列

三、填空题（本大题共3小题）

12．已知复数，则的虚部为．

13．已知平面向量，，，若，，则.

14．提丢斯—波得定则是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则，它是1766年由德国的一位中学老师戴维·提丢斯发现的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成一条定律，即数列：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，19.6，…表示的是太阳系第n颗行星与太阳的平均距离（以A．U．为天文单位）．现将数列的各项乘以10后再减4得数列，可以发现从第3项起，每一项是前一项的2倍，则．

四、解答题（本大题共5小题）

15．已知数列是等差数列，其前项和为，且，.

(1)求的通项公式；

(2)设，求数列的前项和.

16．记的内角的对边分别为，若.

(1)求角；

(2)若，点在线段上，且是线段中点，与交于点，求.

17．已知为数列的前n项和，且，.

(1)求的通项公式；

(2)若，求数列的前n项和.

18．已知函数.

(1)若，求函数的单调区间；

(2)若对，，且在处取得极小值，求的取值范围.

19．如果数列，其中，对任意正整数都有，则称数列为数列的“接近数列”．已知数列为数列的“接近数列”．

(1)若，求的值；

(2)若数列是等差数列，且公差为，求证：数列是等差数列；

(3)若数列满足，且，记数列的前项和分别为，试判断是否存在正整数，使得？若存在，请求出正整数的最小值；若不存在，请说明理由．（参考数据：）

参考答案

1．【答案】B

【详解】由易得：

即，

所以，

故选：B

2．【答案】A

【详解】已知复数，则.

故选：A.

3．【答案】A

【解析】由等比数列的通项公式可计算得出，代入数据可计算得出结果.

【详解】由.

故选：A.

4．【答案】C

【解析】设大老鼠每天打洞的长度构成等比数列，则，小老鼠每天打洞的长度构成等比数列，则，再分别求和构造等式求出的值.

【详解】设大老鼠每天打洞的长度构成等比数列，

则，所以.

设小老鼠每天打洞的长度构成等比数列，

则，所以.

所以，即，化简得

解得：或(舍)

故选：C

5．【答案】B

【解析】由转化为，利用叠加法，求得，即可求解.

【详解】由，可得，

所以

，

所以.

故选：B.

1、对于递推关系式可转化为的数列，通常采用叠加法（逐差相加法）求其通项公式；

2、对于递推关系式可转化为的数列，并且容易求数列前项积时，通常采用累乘法求其通项公式；

3、对于递推关系式形如的数列，可采用构造法求解数列的通项公式.

6．【答案】D

【详解】由已知得，

所以，

解得，又，

所以.

故选：D.

7．【答案】B

【解析】先证明数列是等差数列，结合求出的通项公式，可得，利用配方法可得答案.

【详解】因为

所以

所以数列是等差数列，

又

所以数列是以为首项，为公差的等差数列，

所以

所以

因为，，且，

所以当时，取最大值2.

故选：B.

8．【答案】D

【详解】因为，所以当时，，得，

当