河北省秦皇岛市昌黎县河北昌黎第一中学2025届高三下学期第一次调研考试数学试题.docx

PAGE/NUMPAGES

2025年河北昌黎第一中学高三年级第一次调研考试

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将考号准确填涂在“考号”栏目内.

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知，，则（）

A. B. C. D.

2.已知集合，集合由全体合数组成，则（）

A. B. C. D.

3.已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（）

A. B. C. D.

4.用a、b、c表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题，正确的有（）

①若，，则；②若，，则；

③若，，则；④若，，则.

A.①② B.②④ C.①④ D.③④

5.已知，，则（）

A.2 B. C. D.3

6.用“作切线”的方法求函数零点时，若数列满足，则称该数列为言蹊数列.若函数有两个零点1和2，数列为言蹊数列.设，已知，的前n项和为，则（）

A2022 B.2023 C. D.

7.如图，将圆柱的下底面圆置于球O的一个水平截面内，恰好使得与水平截面圆的圆心重合，圆柱的上底面圆的圆周始终与球O的内壁相接（球心O在圆柱内部），已知球O的半径为3，，则圆柱体积的最大值为（）

A. B. C. D.

8.已知函数，，则存在，使得（）

A. B.

C. D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知某中学的高中女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（，2，3，…，n），由最小二乘法近似得到y关于x的回归直线方程为，则下列结论中正确的是（）

A.该回归直线必过点

B.y与x是负相关的

C.若该中学某高中女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg

D.若该中学某高中女生身高为160cm，则其体重必为50.29kg

10.在锐角中，，角A、B、C对边分别为a，b，c，则（）

A.

B.

C.

D.若上有一动点P，则最小值为

11.对于实数a，b下列错误的是（）

A.在直线上是到距离为的充要条件

B.若，，，则最大值

C.如果存在一个定义在R上的函数满足，那么必存在一个数m，使得函数对所有有理数t均成立

D.若，，则

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知复数，则______.

13.已知函数，其处的切线是函数在处的切线，则函数恒过定点______.

14.已知椭圆的右焦点F与抛物线焦点重合，M是椭圆与抛物线的一个公共点，，则椭圆的离心率为______.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.如图所示，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面底面且，E为中点.

（1）求证：；

（2）求二面角的正弦值；

（3）求点C到平面的距离.

16.已知正项数列中且，其中为数列的前n项和.

（1）求数列的通项公式；

（2）若是和的等比中项，求k值；

（3）令，求数列前n项和.

17已知函数，.

（1）当时，求函数的最小值；

（2）若，求的取值范围.

18.某工厂生产的产品分为一等品、二等品和三等品．已知生产一件产品为一等品、二等品、三等品的概率分别为、、，且．从该工厂生产的产品中随机抽取件，设其中一等品的数量为，二等品的数量为．

（1）若，已知的数列期望，的方差求的值.

（2）若，且服从二项分布．已，求的值.

（3）已知，，在抽取件商品中，一等品和二等品的数量之和为．求当为何值时，的数学期望取得最大值？

19.对于求解方程正整数解（，，）的问题，循环构造是一种常用且有效地构造方法．例如已知是方程的一组正整数解，则，将代入等式右边，得，变形得：，于是构造出方程的另一组解，重复上述过程，可以得到其他正整数解．进一步地，若取初始解时满足最小，则依次重复上述过程可以得到方程的所有正整数解．已知双曲线（，）的离心率为，实轴长为2．

（1）求双曲线的标准方程；

（2）方程的所有正整数解为，且数列单调递增．

①求证：始终是4的整数倍；

②将看作点，试问的面积是否为定值？若是，请求出该定值；若不