河南省平顶山市第一中学2024-2025学年高三下学期开学摸底考试数学试题.docx

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平顶山一中2024－2025学年（下）高三开学摸底考试

数学

考生注意：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.回答非选择题时，将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.

1.已知集合，集合，则（）

A. B. C. D.

2.复数在复平面内对应点所在的象限为（）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3.已知向量与的夹角为，若在方向上的投影向量为，则（）

A.3 B. C. D.

4.已知，则值是（）

A. B. C. D.

5.函数的大致图象为（）

A. B.

C. D.

6.已知椭圆的左，右焦点分别为，点在该椭圆上，若满足为直角三角形的点共有8个，则该椭圆离心率的取值范围是（）

A. B. C. D.

7.我国古代的数学著作《九章算术》中提到了“仓”“堑堵”“阳马”等几何体，其中“仓”是长方体，“堑堵”是两底面为直角三角形的棱柱，“阳马”是底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体．在“阳马”中，平面，分别为、、、的中点，、、、分别为、、、的中点，和交于，平面、平面、平面将阳马分割成一个“仓”，2个“堑堵”和2个小“阳马”，那么分割后2个小“阳马”的体积和与“阳马”体积的比值为（）

A. B. C. D.

8.设函数，则函数零点的个数为（）

A.8 B.9 C.10 D.11

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知函数的部分图象如图所示，则（）

A.函数的最小值是

B.是函数的一个周期

C.在上单调

D.将函数的图象向右平移个单位得到的函数是奇函数

10.由直线上一点向圆引两条切线，，，是切点，则（）

A.线段长的最小值为

B.四边形面积最小值为

C.的最大值是

D.当点的坐标为时，切点弦所在的直线方程为

11.双纽线图形轮廓像阿拉伯数字中的“8”.如图，曲线是双纽线，关于曲线，下列说法正确的是（）

A.

B.上存点，使得

C.上的点的纵坐标的最大值为

D.若直线与恰有一个公共点，则的取值范围为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.在中，，点是上点，平分面积是面积的3倍，当的面积最大时，__________.

13.已知定义域为的函数的导函数为，若函数和均为偶函数，且，则______．

14.古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点的距离之比为常数的点的轨迹是一个圆心在直线上的圆，该圆被称为阿氏圆.如图，在长方体中，，点在棱上，，动点满足，若点在平面内运动，则点对应的轨迹的面积是_______________；为的中点，则三棱锥体积的最小值为______________.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.统计显示，我国在线直播生活购物用户规模近几年保持高速增长态势，下表为年—年我国在线直播生活购物用户规模（单位：亿人），其中年—年对应的代码依次为—.

年份代码

市场规模

，，，其中

参考公式：对于一组数据、、、，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.

（1）由上表数据可知，若用函数模型拟合与的关系，请估计年我国在线直播生活购物用户的规模（结果精确到）；

（2）已知我国在线直播生活购物用户选择在品牌官方直播间购物的概率，现从我国在线直播购物用户中随机抽取人，记这人中选择在品牌官方直播间购物的人数为，若，求的数学期望和方差.

16.如图，平面与不等，，四棱锥的体积为为的中点.

（1）证明：平面；

（2）求平面与平面所成角的正弦值.

17.已知数列中，，.

（1）证明数列是等比数列，并求的通项公式；

（2）数列满足，设为数列的前n项和，求使恒成立的最小的整数k.

18.已知函数．

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）若对任意成立，求实数的值；

（3）若，求证：．

19.已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点：过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为.

（1）若，求；

（2