黑龙江省大庆市2025届高三第二次教学质量检测数学试题[含答案].docx

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黑龙江省大庆市2025届高三第二次教学质量检测数学试题

一、单选题（本大题共8小题）

1．若复数为纯虚数，则a的值为（???）

A． B．1 C． D．2

2．已知幂函数的图象经过点，则的值为（???）

A． B． C．3 D．9

3．已知等比数列中，，则的值为（???）

A． B． C． D．

4．已知是两个平面，m，n是两条直线，则下列说法正确的是（???）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

5．设A，B两点的坐标分别为，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，则点M的轨迹方程为（???）

A． B．

C． D．

6．若锐角满足，则的值为（???）

A． B． C． D．

7．已知定义域为的函数为奇函数，对任意的

,,，都有，且，则不等式的解集为（???）

A． B． C． D．

8．已知数列为等差数列，且公差，直线与圆交于A，B两点，则的最小值为（???）

A． B． C． D．

二、多选题（本大题共3小题）

9．设是两个非零向量，则下列说法正确的是（???）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．在方向上的投影向量的模为

10．已知函数，其中，且．若函数在区间内无零点，则下列说法正确的是（???）

A．的图象关于对称

B．在上单调递增

C．直线是的一条切线

D．若在区间上的图象与直线有且只有三个交点，则实数m的取值范围为

11．广东汕头海湾大桥被誉为“中国第一座大跨度现代悬索桥”，悬索的形状是平面几何中的悬链线，其方程为（为参数，）．当时，该方程是双曲余弦函数，类似的函数还有双曲正弦函数，则下列说法正确的是（???）

A．，

B．当时，函数有最小值

C．，

D．，

三、填空题（本大题共3小题）

12．已知集合，则的所有元素之和为．

13．设双曲线的左、右焦点分别为，直线与C交于M，N两点，且．若四边形的周长为，则C的离心率为．

14．在正四棱台中，，则该正四棱台的高为；若点P在四边形ABCD内运动，且，则点P的轨迹长度为．

四、解答题（本大题共5小题）

15．在中，．

(1)求B；

(2)求函数在上的最大值．

16．已知函数在处取得极值．

(1)求a的值；

(2)若存在使得，求实数m的取值范围．

17．设为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．令，为数列的前n项和．

(1)求数列的通项公式；

(2)证明：当时，．

18．在四棱锥中，底面ABCD为正方形，O是AD的中点，平面ABCD，，平面平面．

(1)求证：；

(2)如图，且，求点M到平面PBC的距离；

(3)设四棱锥的外接球球心为Q，在线段PB上是否存在点E，使得直线PQ与平面AEC所成的角的正弦值为?若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．

19．已知曲线，点在曲线W上．

(1)求曲线W在点Q处的切线方程；

(2)如图1，过曲线W外一点A（不在y轴上）作W的两条切线AB，AC，切点为B，C，过曲线W上一点M的切线交AB，AC于点，且，把这样的叫做“外切三角形”．

①连接AM交BC于点E，求证：A，M，E三点的纵坐标成等差数列；

②如图2，从点A出发做出的第一个外切三角形是再过点分别做出2个“外切三角形”，即和；继续过点分别做出4个“外切三角形”以此类推，依次做出1，2，4，8，…，个外切三角形．设的面积为S，求这些“外切三角形”的面积之和T，并证明．

参考答案

1．【答案】A

【详解】由题，，又为纯虚数，.

故选：A．

2．【答案】B

【详解】设，则即，

故选：B．

3．【答案】D

【详解】由等比数列性质，得，所以.

故选：D

4．【答案】B

【详解】对于A选项，若，则m，n可能平行或异面，所以A错误；

对于B选项，若，则m垂直于内的任意直线，，所以B正确；

对于C选项，若，则m，n可能平行或相交或异面，所以C错误；

对于D选项，若，则或，所以D错误.

故选：B

5．【答案】C

【详解】设，则由已知得

化简得，

故选：C．

6．【答案】A

【详解】且平方得

，又

，

故选：A．

7．【答案】C

【详解】设,由为奇函数可知为偶函数

因为任意的,,，都有

所以时,单调递减,由对称性可知在上单调递增．

因为，所以

若,则化为,即,由单调性可知．

若，则化为，即，由单调性可得．

综上,．

故选:C

8．【答案】B

【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径，

设数列公差为d，

则直线可化为，

即．

令，解得，可知直线过定点，

当时，弦长最小，此时最小．

又因为，则，

可知，则．

故选：B．

9．【答案】ACD

【详解】对于选项A，由可知，当时，，所以．所以选项A正确，

对于选项B，由可知，与共线，不一定是．所以选项B错误，

对于选项C，由，得，即，所