湖南省部分学校2024−2025学年高三下学期2月联考数学试题[含答案].docx

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湖南省部分学校2024?2025学年高三下学期2月联考数学试题

一、单选题（本大题共8小题）

1．已知复数是纯虚数，则（????）

A．0 B．1 C．2 D．3

2．“”是“”的（????）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

3．若点到双曲线的一条渐近线的距离为1，则的虚轴长为（????）

A． B． C． D．

4．已知的内角的对边分别是，且，，则（????）

A．5 B．4 C．3 D．1

5．废弃矿山的治理事关我国的生态环境保护，甲、乙两种植物可以在一定程度上加快污染地生态的恢复．若在某一片污染地上甲、乙至少有一种可以存活，且甲存活的概率是0.6，乙存活的概率是0.5，则在该片污染地上甲、乙都存活的概率为（????）

A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1

6．已知某圆台轴截面的周长为10、面积为，圆台的高为，则该圆台的表面积为（????）

A． B． C． D．

7．已知为圆的直径且，为圆上的动点且与，均不重合，等边三角形与共面且点，位于的异侧，则的最大值为（????）

A． B．1 C．2 D．3

8．已知公差不为的等差数列的前项和为，且，若存在正整数，使得，则的所有可能取值的个数为（????）

A． B． C． D．

二、多选题（本大题共3小题）

9．已知，设函数在区间上的最大值为，在区间上的最大值为，当变化时，下列结论可能成立的是（????）

A．， B．，

C．， D．，

10．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为的中点，则（????）

A．平面 B．平面

C．三棱锥的体积为 D．与所成角的余弦值为

11．已知曲线和相切，且曲线和抛物线围成封闭曲线，过的焦点的动直线与交于两点，过线段的中点作垂直于的准线的直线，垂足为为坐标原点，则下列说法正确的是（????）

A． B．的最大值为

C．不大于点到轴的距离的4倍 D．若的斜率为，则

三、填空题（本大题共3小题）

12．某蔬菜种植基地最近五年的年投资成本（万元）和年利润（万元）的统计表如下：

10

11

12

13

14

11

12

19

若关于的线性回归方程为，则的平均数．

13．已知函数的图像与直线相切，且与直线仅有一个交点，则．

14．记表示三个数中的最大数．若函数的值域为，则的最小值为．

四、解答题（本大题共5小题）

15．已知数列的前项和．

(1)求的通项公式；

(2)若，求数列的前项和．

16．如图，在直五棱柱中，，，，，，是的中点．

(1)证明：平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值．

17．已知函数．

(1)求的单调区间；

(2)若，证明：当时，．

18．已知曲线上任意两点间的最大距离为4，，为与轴的交点，且点在的上方．

(1)求的方程；

(2)若过的直线与交于另一点（异于点），作，为垂足，直线，的斜率分别为，证明：；

(3)若点在上，且，证明直线过定点，并求面积的最大值．

19．甲、乙两个不透明的袋中各有个材质、大小相同的小球，甲袋中的小球分别编号为，乙袋中的小球分别编号为．从甲袋中任取两个小球，编号记为，从乙袋中任取两个小球，编号记为．

(1)若，设，求的分布列和数学期望．

(2)设，，事件“”发生的概率记为．

（ⅰ）用含的组合数表示；

（ⅱ）证明：当时，．

附：．

参考答案

1．【答案】B

【详解】由，因为纯虚数，所以,解得

故选:B

2．【答案】C

【详解】由.

由不能推出，而可以推出.

所以“”是“”的必要不充分条件.

故选：C

3．【答案】B

【详解】对于双曲线，其渐近线方程为，即.

点到渐近线（取这条渐近线计算，取另一条结果相同）的距离，

已知距离，则.

即，两边同时平方可得，解得.

把代入可得虚轴长为.

故选：B.

4．【答案】A

【详解】由正弦定理，，于是，结合，

于是.

故选：A

5．【答案】D

【详解】设甲存活为事件，乙存活为事件，则，，

则甲乙至少有一种存活的概率为

，

则所以甲、乙都存活的概率为.

故选：D.

6．【答案】C

【详解】若圆台上下底面半径分别为且，则圆台轴截面腰长为，

所以，，即，

所以，可得，故，

综上，圆台的表面积为.

故选：C

7．【答案】D

【详解】如图：

因为，

所以.

取中点，则，

因为，所以设，，

则，，

所以，

当时，为最大值.

此时为最大值.

故选：D

8．【答案】B

【详解】设等差数列的首项为，公差为，

由题有，整理得到，

又，所以，

整理得到，将代入得到，

，又，则或或，

解得或或（舍），

故选：B.

9．【答案】ABC

【详解】对于选项A，当取时，考虑函数.

对于区间，根据正弦函数图象性质，在这个区间内，时取得最大值，所以该区间上的最大值.

对于区间，同样