安徽文科第21题.doc

安徽文21：

已知椭圆的焦距为4，且过点。

求椭圆C的方程；

设为椭圆C上一点。过点Q作x轴的垂线，垂足为E。取点，连接AE。过点A作AE的垂线交x轴于点D。点G是点D关于y轴的对称点，作直线QG。问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点？并说明理由。

解（1）由题设知，

所以，即。

（2）由知，，

则，

由，知，，

故直线QG方程为，

联立椭圆方程消去y得，

解方程，即为点，

故直线QG与椭圆C有唯一的公共点。

注：此题为作椭圆上任意一点处的切线提供一个尺规作图的方法（按照题目中的步骤即可），下面给出证明。

一般化处理A点，设，则，

而，

所以，，

直线QG方程为，可整理成，

此方程即为椭圆C过点的切线方程。

（安徽省亳州市第一中学史嘉）