第03讲 正方形的性质和判定（知识解读+达标检测）（解析版）.docx

第03讲正方形的性质和判定

【题型1利用正方形的性质求解】

【题型2添一个条件使四边形是正方形】

【题型3证明四边形是正方形】

【题型4中点四边形】

【题型5正方形的判定与性质综合】

考点1：正方形的概念与性质

正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。

※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有两条对称轴）

【题型1利用正方形的性质求解】

【典例1】（2025·河南郑州·一模）如图，在正方形ABCD中，AB=4，CE=DF=1，DE，AF交于点G，点H为AE的中点，连接GH，则

A．2 B．32 C．2 D．

【答案】D

【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等知识点，熟练掌握相关知识进行求解是解题的关键．

根据正方形的性质可得∠C=∠ADC=90°，AD=DC=AB=BC=4，进而运用勾股定理得到AE=5，再证明△ADF≌△DCE得到

【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，AB=4，

∴∠C=∠ADC=90°，

∴BE=BC-CE=3，

∴AE=

在△ADF和△DCE中，

CE=DF∠ADF=∠C

∴△ADF≌

∴∠DAF=∠CDE

∵∠DFA+∠DAF=90°，

∴∠DFA+∠CDE=90°，

∴∠DGF=∠AGE=90°，

∵点H为AE的中点，

∴GH=1

故选D．

【变式1-1】（22-23八年级下·四川宜宾·期末）若正方形的对角线长为8cm，则这个正方形的面积为（????

A．32cm2 B．64cm2 C．

【答案】A

【分析】本题考查了正方形的性质，根据正方形的面积等于对角线乘积的一半求解即可．

【详解】解：∵正方形的对角线长为8cm

∴正方形的面积为：12

故选A．

【变式1-2】（22-23九年级上·山西太原·阶段练习）如图，由正方形和等边三角形组成，其中∠EBC=．

【答案】15°/15度

【分析】本题考查了正方形的性质、三角形内角和性质以及等边三角形的性质，由正方形的性质得∠BCD=90°，BC=CD，由等边三角形的性质得出∠ECD=60°，CD=CE

【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BCD=90°，

∵△CDE是等边三角形，

∴∠ECD=60°，CD=CE

则∠BCE=90°+60°=150°，BC=CE，

∴∠EBC=∠BEC=1

故答案为：15°．

【变式1-3】（22-23八年级下·山东烟台·期中）如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，AE的延长线交CD于点F，连接CE，若∠AFD=65°，则∠CEF的度数为．

??

【答案】40°/40度

【分析】根据正方形的性质及直角三角形的特征可得∠DAF=25°，在根据全等三角形的判定及性质可得∠DCE=25°，再根据三角形的外角的性质即可求解．

【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=CD，∠ADC=∠BAD=90°，∠ADB=∠CDB，

在△ADE和△CDE中，

AD=CD∠ADE=∠CDE

∴△ADE≌△CDE(ASA

∴∠DCE=∠DAE，

∵∠AFD=65°，

∴∠DCE=∠DAE=90°-65°=25°，

∴∠CEF=∠DFA-∠DCE=65°-25°=40°，

故答案为：40°．

【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、直角三角形的特征及三角形外角的性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键．

考点2：正方形的判定

※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；

邻边相等的矩形是正方形；

对角线相等的菱形是正方形；

对角线互相垂直的矩形是正方形。

注意：正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)：

【题型2添一个条件使四边形是正方形】

【典例2】（24-25九年级下·上海·阶段练习）已知矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O，下列条件中能判定四边形ABCD是正方形的是（???）

A．OA=OC B．OA=OB C．AB⊥BC D．OA⊥OB

【答案】D

【分析】本题考查正方形的判定，根据正方形的判定定理逐项判断即可．

【详解】解：∵矩形ABCD中，对角线AC,BD交于点O，

∴OA=OC=OB=OD，AB⊥BC，

A，OA=OC，不能判定四边形ABCD是正方形；

B，OA=OB，不能判定四边形ABCD是正方形；

C，AB⊥BC，不能判定四边形ABCD是正方形；

D，OA⊥OB，由对角线互相垂直的矩形为正方形，能判定四边形ABCD是正方形；

故选D．

【变式2-1】（23-24八年级下·吉林·期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD交于点O，添加下列一个条件，能使菱形ABCD成为正方形的是（

A．BD=AB B．OA=OB C．