2023-2024学年上海市浦东新区进才中学高一（下）期中数学试卷 （含解析）.docxVIP

2023-2024学年上海市浦东新区进才中学高一（下）期中数学试卷

一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分。

1．扇形的半径为1，圆心角所对的长为3，则该扇形的面积是．

2．已知点，，若点满足，则点的坐标为．

3．向量在向量方向上的数量投影为．

4．函数的单调增区间是．

5．在三角形中，是上靠近点的三等分点，为中点，若，则．

6．在上的最大值为．

7．向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围是．

8．在△中，角、、的对边分别为、、，，则角．

9．已知在上有且仅有3个极值点，则的取值范围是．

10．平面，，上三点的坐标分别是，，．小林同学在点处休息，进而小猫沿着所在直线来回跑动，小猫离小林同学最近时的坐标为．

11．矩形中，，，动点满足，，，，，则下列说法中正确的是．

①若，则△的面积为定值；

②若，则的最小值为4；

③若，则满足的点不存在；

④若，，则△的面积为．

12．在中，，，．为所在平面内的动点，且，则的取值范围是．

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项。考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑。

13．下列函数中，最小正周期为的奇函数是

A． B． C． D．

14．已知，，则

A． B． C． D．

15．是平面上一定点，，，平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的

A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心

16．若非零不共线的向量，满足，则

A． B． C． D．

三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。

17．已知平面向量，满足，，且．

（1）求向量，的夹角；

（2）若，求实数的值．

18．某同学用“五点法“画函数在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如表：

0

0

1

0

（1）请直接写出表中，的值，并求出函数的解析式和最小正周期；

（2）若关于的方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围．

19．如图，有一景区的平面图是一个半圆形，其中为圆心，直径的长为，，两点在半圆弧上，且，设；

（1）当时，求四边形的面积．

（2）若要在景区内铺设一条由线段，，和组成的观光道路，则当为何值时，观光道路的总长最长，并求出的最大值．

20．（18分）已知函数的图象如图所示，点，，为与轴的交点，点，分别为的最高点和最低点，而函数在处取得最小值．

（1）求参数的值；

（2）若，求向量与向量的夹角；

（3）若点为函数图象上的动点，当点在，之间运动时，恒成立，求的取值范围．

21．（18分）个有次序的实数，，，所组成的有序数组，，，称为一个维向量，其中，2，，称为该向量的第个分量．特别地，对一个维向量，若，，，称为维信号向量．设，，则和的内积定义为，且．

（1）直接写出4个两两垂直的4维信号向量．

（2）证明：不存在6个两两垂直的6维信号向量．

（3）已知个两两垂直的2024维信号向量，，，满足它们的前个分量都是相同的，求证：．

参考答案

一．选择题（共4小题）

题号

13

14

15

16

答案

B

B

D

C

一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分。

1．扇形的半径为1，圆心角所对的长为3，则该扇形的面积是．

解：扇形的半径为1，圆心角所对的长为3，

所以该扇形的面积．

故答案为：．

2．已知点，，若点满足，则点的坐标为．

解：设点的坐标是，由，，

可得，，

又，则有，，，

即，解得．

故答案为：．

3．向量在向量方向上的数量投影为．

解：向量，，

，，

所以在方向上的数量投影为．

故答案为：．

4．函数的单调增区间是，，．

解：对于函数，令，，

求得，，

可得函数的单调增区间为，，．

故答案为：，，．

5．在三角形中，是上靠近点的三等分点，为中点，若，则．

解：因为为中点，所以，

因为是上靠近点的三等分点，所以，

所以，

因为，所以．

故答案为：．

6．在上的最大值为．

解：函数，

由于，故，当时，函数取得最大值为．

故答案为：．

7．向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围是．

解：，，

且，解得且，

故实数的取值范围是．

故答案为：．

8．在△中，角、、的对边分别为、、，，则角或．

解：由，因为，可得，

因为，可得，所以或．

故答案为：或．

9．已知在上有且仅有3个极值点，则的取值范围是