2.3 向量的内积（教案）-高二数学（高教版2023修订版拓展模块一上册）.docx

教学目标2.3向量的内积

教学目标

1．知道向量内积的概念及其几何意义；

2．会计算两个向量的内积；

3．会利用向量内积解决简单几何问题．

教学重难点教学重点：

教学重难点

教材分析教学难点：向量内积公式的推导及应用．

教材分析

本课通过简易推导力做功的公式，帮助学生理解两个向量是可以相乘的，并且结果是数量，顺理成章给出向量内积的概念及其运算律．内积把向量的大小和三角函数联系起来，这样为解决求线段长度、夹角等有关几何问题提供了方便，特别推出了两向量垂直的充要条件．要强调力与位移都是向量，而功是数量．

教学过程教学工具

教学过程

教学工具

（一）情境导入

物体在力的作用下，沿着力的方向移动了一段距离，就说力对物体做了功．如图所示，在拉力F的作用下，小车在水平方向上发生了位移s．设力F与位移s的夹角为θ，怎样计算力F对小车做的功呢？

【设计意图】结合做功的实例进行引入，更加直观.

（二）探索新知

力F在位移s的方向上的分力F1的大小为|F1|=|F|·cosθ．由于小车在分力F2方向上的位移等于0，故分力F2对小车做的功等于0，从而力F对小车所做的功就是分力F1对小车做的功，即

力F和位移s是两个向量，它们按照上式确定了一个数量W．

如图所示，对于非零向量a和b，作AB=a，OB=b，称射线OA、OB所成的最小正角为向量a与b的夹角，记作a,b

当a、b同向时，a,b

当a、b反向时，a,b

因此，0≤a,b

当a,b=π2时，称向量a与向量b互相垂直，记作a

两个向量a、b的模与它们夹角的余弦值之积称为向量a与b的内积(或数量积)，记作a·b，即

a·b=|a||b|cosa,b

由内积定义可知：

零向量与任一向量的内积为0，即0·a=0．

向量a与b的内积a·b也称为a与b的点积．

a·a也写作a2．

对于非零向量a、b，当a、b同向时，a·b=|a||b|；

当a、b反向时，a·b=-|a||b|．

对于两个非零向量a、b，由内积的定义有：

（1）a⊥b?a·b=0；

（2）|a|=a·

（3）cosa,b=

是否可以用向量的内积描述几何学中的垂直、长度与夹角？

性质(1)可用于解决与两个非零向量垂直有关的问题，即内积为0，则两向量垂直.

性质(2)表明，当两个向量相等时，这两个向量的内积等于向量的模的平方，因此可用于求向量的模.

性质(3)的实质是平面向量内积的逆用，可用于求两向量的夹角，也称为夹角公式.

可以验证，向量的内积满足下面的运算规律：

a·b=b·a；

(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)；

(a+b)·c=a·c+b·c．

【设计意图】结合力做功引出向量可以相乘并且结果是数量，几个结论引导学生进行推导，可以视作向量内积的几何应用；探究与发现深化3个性质的几何应用.

（三）典例剖析

例1.已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，试求：a·b

解:a·b＝|a||b|cos120°＝2×3×＝－3．

例2.已知|a|=|b|=2，a·b=，求a，b

解：因为cosa，b

由于0≤a，b≤π，所以a，

例3.已知|a|＝3，|b|＝2，向量a，b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b，求当m为何值时，c与d垂直？

解：由已知得a·b＝3×2×cos60°＝3．

由c⊥d，得c·d＝0，即c·d＝(3a＋5b)·(ma－3b)

＝3ma2＋(5m－9)a·b－15b2

＝27m＋3(5m－9)－60＝42m－87＝0，

所以m＝eq\f(29,14)，即m＝eq\f(29,14)时，c与d垂直．

【设计意图】直接应用公式公式的逆用和几何应用；巩固向量垂直的充要条件的应用.

（四）巩固练习

1．已知?ABCD中，∠DAB＝60°，则与的夹角为（????）

A．30° B．60° C．120° D．150°

解：如图，与的夹角为，

故选：C

3.已知向量，(为单位向量)，则向量与向量（????）

A．不共线 B．方向相反

C．方向相同 D．

4.已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，试求：

(1)(a＋b)·(a－b)；

(2)(2a－b)·(a＋3b)．

解：(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－a·b＋a·b－b2＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝4－9＝－5．

（2）(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋6a·b－a·b－3b2＝2|a|2＋5a·b－3|b|2＝2×4－5×3－3×9＝－34．

【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握