2.4.1 向量的坐标表示（教案）-高二数学（高教版2023修订版拓展模块一上册）.docx

教学目标2.4.1向量的坐标表示

教学目标

知道向量坐标的合理性和应用价值，会用直角坐标表示向量.

教学重难点教学重点：会用向量的坐标形式进行向量运算

教学重难点

教材分析教学难点：会用向量的坐标形式进行向量运算．

教材分析

本课从数轴上的点与实数一一对应、平面直角坐标系中的点与有序实数对一一对应开始，通过探究起点在原点的向量OA与单位向量i，

教学工具j之间的关系，把向量OA分解为xi和yj之和，建立了向量OA与点A的坐标(x，y)之间的关系，并且OA=xi+yj；接着利用向量的减法建立了任一向量AB与它的终点B与起点A的坐标的差之间的关系，AB=(x2-x1)i+(y2-y1)j．这两个式子表明任意一个向量都可以用一个有序实数．

教学工具

教学课件

教学过程（一）

教学过程

我们知道，数轴上的点与实数是一一对应的，平面直角坐标系中的点P与有序实数对(x，y)是一一对应的，(x，y)是点P的坐标.平面直角坐标系中所有以原点(0，0)为起点、以点P(x，y)为终点的向量与有序实数对(x，y)也是一一对应的，如图所示．

如图所示，在平面直角坐标系中分别取x轴、y轴上的两个单位向量i、j．以原点O为起点做向量OP，点P的坐标为(x,y)．向量OP与两个单位向量i、j之间有什么关系呢？

【设计意图】结合数轴和平面直角坐标系中点与坐标的关系引入新知，引导学生数形结合分析问题.

（二）探索新知

过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M、N．由于向量OM与i共线，并且OM的模等于｜x｜，故|OM|=xi；同理可得，ON=yj．根据向量加法的平行四边形法则，有

OP=OM+ON=xi+yj．

进一步，对于如图所示的以点A为起点的向量AB记点A与点B的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2)，则有AB=OB-OA=(x2i+y2j)-(x1i+y1j)=(x2-x1)i+(y2-y1)j．

对于平面直角坐标系中的任一向量a，都存在着一对有序实数(x,y)，使得a=xi+yj．我们把有序实数对称为向量a的坐标．方便起见，常把向量a用它的坐标(x,y)表示，即a=(x,y)．

上图中，0=(0,0)，i=(1,0)，j=(0,1)；OP=(x,y)，AB=(x2-x1,y2-y1)．

【设计意图】通过把几何问题转化为代数问题从而使几何问题可以通过代数运算解决，表达更简洁，运算更便捷.

（三）典例剖析

例1.已知平面上三个点A(4,6)、B(7,5)、C(1,8)，求eq\o(AB,\s\up16(→))、eq\o(AC,\s\up16(→))．

解：∵A(4,6)、B(7,5)、C(1,8)

∴eq\o(AB,\s\up16(→))＝(7,5)－(4,6)＝(3，－1)；

eq\o(AC,\s\up16(→))＝(1,8)－(4,6)＝(－3,2)；

例2.如图所示，单位圆与坐标轴交于A、B、C、D四点，∠AOM=45°，

∠BOE=30°，∠CON=45°，求向量OB、OM、ON、OE的坐标．

解：由于点B的坐标为(0,1)，故OB?=(0,1)；点M的坐标为(cos45°,sin45°)=22,?22

同理可得，

ON?=(cos225°,sin225°)=-

OE?=(cos120°,sin120°)=-

例3.已知平行四边形ABCD中A(－2,1)，B(－1，3)，C(3,4)，求点D的坐标．

解：设点D的坐标为(x，y)，

由eq\o(AB,\s\up16(→))＝(1,2)，eq\o(DC,\s\up16(→))＝(3－x，4－y)，且eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(DC,\s\up16(→))，得D(2,2)．

【设计意图】例1为了强调强调“终点的坐标减去起点的坐标”；，例2综合单位圆和向量知识解决问题；例3综合运用平行四边形的性质、相等向量、向量的坐标表示等多个知识点，渗透了方程的思想.

（四）巩固练习

1.判断下列说法是否正确．

（1）x轴正方向上的单位向量i的坐标为(1,0)；是

（2）起点不在原点的向量不能确定它的坐标；否

（3）由于x轴和y轴上的单位向量i、j的模都是1，所以它们的坐标相等；否

（4）在平面直角坐标系中，向量OA的坐标是唯一确定的．是

2..已知，则下面说法正确的是（????）

A．A点的坐标是 B．B点的坐标是

C．当B点是原点时，A点的坐标是 D．当A点是原点时，B点的坐标是

解:由