3.3.2 抛物线的几何性质（教案）-高二数学（高教版2023修订版拓展模块一上册）.docx

教学目标3.3.2抛物线的几何性质

教学目标

1.理解抛物线的性质；

2.能根据要求求出抛物线的范围、对称轴、准线方程和焦点坐标过程与方法.

教学重难点教学重点：抛物线的性质

教学重难点

教材分析教学难点：利用抛物线性质解决简单的实际问题．

教材分析

教学工具本节课是三种圆锥曲线的最后一种，研究抛物线的简单几何性质，利用曲线方程研究曲线的性质，是解析几何的主要任务目的，通过本节课的学习，既让学生了解了抛物线的几何性质，又让学生初步体会了利用曲线方程来研究其性质的过程.

教学工具

教学过程

教学过程

（一）情境导入

前面，我们利用双曲线的标准方程获得了双曲线的几何性质，是否可以利用抛物线的标准方程研究抛物线的几何性质呢？

【设计意图】复习知识，并为本节课的学习作铺垫.

（二）探索新知

1.范围

在方程中，y2=2px?中，由p0，y2≥0，可知x≥0．这表明，抛物线在y?轴的右侧，如图所示．当x的值增大时，y2的值也随着增大，即|y|?的值增大

这说明，抛物线向右上方和右下方无限延伸．

2.对称性

在方程中，将y换成-y，方程不改变．

这说明，抛物线关于x轴对称．一般地，把抛物线的对称轴称为抛物线的轴．

3.顶点

在方程中，令y=0，得x=0．因此，抛物线的顶点为原点．一般地，抛物线与它的轴的交点称为抛物线的顶点．

4.离心率

抛物线上的点M到焦点的距离与它到准线的距离的比称为抛物线的离心率，记作e．由抛物线的定义知，e=1．

为什么拱桥的桥拱大多设计为抛物线的形状？

桥梁的主要受力是桥面的荷载重量及自身重量，都是垂直向下的，采用抛物线拱形可以将垂直受力转移到横向的桥墩或岸边的地面，这样可以加宽桥梁下面的通道宽度，减少桥墩数量，因此，桥梁大多设计成抛物线拱形.

【设计意图】探究与发现体现数学知识的应用.

（三）典例剖析

例1.根据条件，求抛物线的标准方程．

（1）关于y轴对称，且过点P(4，-2)；

（2）对称轴为坐标轴，且过点P(10，5)．

解：（1）由于物线关于y轴对称，而点P为第四象限的点，故抛物线的焦点在y轴的负半轴上．

设拋物线的标准方程为x2=-2py(p0).将点P的坐标(4，-2)代人方程，得42=-2p×(-2)，解得p=4．?

因此，抛物线的标准方程为x2=-8y；

（2）设所求抛物线的标准方程为：y2=2p1x或x2=-2p2y．将点P的坐标(10，5)分别代人上述两个方程，得52=2p1×10或102=-2p2×5，解得p1=54或p=10

故抛物线的标准方程为

y2=52x或x2=20y

当问题中没有明确指出抛物线的焦点位置或对称轴时，一般需要分情况讨论．

例2.用“描点法”画出抛物线y2=4x的图形．

分析：抛物线具有对称性,因此只需先画出抛物线在第一象限内的图形,然后根据对称性画出全部图形.

解：当y≥0时,抛物线的方程可以变形为

在[0,+∞)上,选取几个整数作为x的值,计算出对应的y值,列表

以表中的x值为横坐标,对应的y值为纵坐标,在直角坐标系中依次描出相应的点(x,y),用光滑的曲线顺次链接各点得到抛物线在第一象限内的图形.然后利用对称性,画出全部图形.

例3.建设交通强国是全面建成社会主义现代化强国的重要支撑．2021年年底，我国高速公路里程已位居世界第一．在修建A市到B市的高速公路过程中，需要挖掘一条横截面如图（1）所示的隧道．已知横截面的顶部是抛物线拱，拱高为2m，跨度为6m，试建立平面直角坐标系，求抛物拱形线的方程．

解：以抛物线的顶点为坐标原点、拱高所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图(2)所示，则抛物线方程可设为x2=-2py．

设拱形的两个端点分别为点A、B．则由拱高为2m和跨度为6m可得A、B两点的坐标

分别为(-3，-2)、(3，-2)．把点B的坐标代入方程x2=-2py，可得p=94

因此,拱形纵截线所在的拋物线方程为

【设计意图】例1要强调不明确抛物线的焦点位置或对称轴时，一般需要分情况讨论；例2作图时，利用了抛物线的轴对称性，要注意直观想象素养的培养；例3是抛物线的实际应用问题.

（四）巩固练习

1.根据下列条件分别求抛物线的方程：

(1)准线方程为；

(2)经过点(－3，1)．

解：（1）由题意得焦点在y轴的负半轴上，所以设抛物线的方程为x2＝－2py(p0)．因为，所以p＝，故抛物线的方程为.

（2）当焦点在x轴的负半轴上时，设其方程为y2＝－2px(p0)，代入点(－3，1)