重庆卷 理21(1)学习资料.doc

2013年高考数学“填空题”“解答题”解法荟萃

（重庆卷理21）如题（21）图，椭圆的中心为原点，长轴在轴上，离心率，

过左焦点作轴的垂线交椭圆于、两点，．

（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；

（Ⅱ）取垂直于轴的直线与椭圆相较于不同的两点、，过

、作圆心为的圆，使椭圆上的其余点均在圆外．

若⊥，求圆的标准方程．

解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，则

又

所求椭圆的标准方程为

（Ⅱ）设圆的标准方程为

由消去，得

依题意，得

设,则

⊥，

圆的标准方程为

题目（2013年重庆（理）21题）如图，椭圆的中心为原点，长轴在轴上，离心率，过左焦点作轴的垂线交椭圆于，两点，

（1）求椭圆的标准方程；

（2）取垂直于轴的直线与椭圆相交于不同的两点，，过，作圆心为的圆，使椭圆上的其余点均在圆外，若，求圆的标准方程。

解：（1）由椭圆的中心为原点，长轴在轴上，可设椭圆的标准方程为；

再由条件可得，，即可解得，于是椭圆标准方程为

（2）解法1：由题设条件为等腰直角三角形，若设及满足的点为，则圆的半径为。则由题意，椭圆上任意一点满足：，即

不等式恒成立

（*）恒成立

=1\*GB3①当时，（*）式成立；

=2\*GB3②当时，由得，存在介于，之间，（*）式不成立；

故。又；

得，，

于是，圆心坐标为，

，

故所求圆的标准方程为

解法2：由题意可知椭圆上任意一点到点的距离最小值为，设圆心，椭圆上任意一点，则

，令，当时，，

由得，由得，由代入上式：,结合，则，，

于是，圆的方程为

解法3：设圆心，椭圆上任意一点，且设，，则圆的半径为

，

由题设可知当且仅当时，，

又因为，轴，所以为等腰直角三角形。于是

，解得，得

所以，圆的方程为

题目（2013年重庆（理）21题）如图，椭圆的中心为原点，长轴在轴上，离心率，过左焦点作轴的垂线交椭圆于，两点，

（1）求椭圆的标准方程；

（2）取垂直于轴的直线与椭圆相交于不同的两点，，过，作圆心为的圆，使椭圆上的其余点均在圆外，若，求圆的标准方程。

解：（1）由椭圆的中心为原点，长轴在轴上，可设椭圆的标准方程为；

再由条件可得，，即可解得，于是椭圆标准方程为

（2）解法1：由题设条件为等腰直角三角形，若设及满足的点为，则圆的半径为。则由题意，椭圆上任意一点满足：，即

不等式恒成立

（*）恒成立

=1\*GB3①当时，（*）式成立；

=2\*GB3②当时，由得，存在介于，之间，（*）式不成立；

故。又；

得，，

于是，圆心坐标为，

，

故所求圆的标准方程为

解法2：由题意可知椭圆上任意一点到点的距离最小值为，设圆心，椭圆上任意一点，则

，令，当时，，

由得，由得，由代入上式：,结合，则，，

于是，圆的方程为

解法3：设圆心，椭圆上任意一点，且设，，则圆的半径为

，

由题设可知当且仅当时，，

又因为，轴，所以为等腰直角三角形。于是

，解得，得

所以，圆的方程为

重庆数学（理,文）第21题：如图，椭圆的中心为原点，长轴在轴上，离心率，过左焦点作轴的垂线交椭圆于、两点，．

（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；

（Ⅱ）取垂直于轴的直线与椭圆相较于不同的两点、，过、作圆心为的圆，使椭圆上的其余点均在圆外．若⊥，求圆的标准方程．

解：（Ⅰ）

（Ⅱ）

解法一：由椭圆的对称性得，圆心在轴上，设，半径，

因为是等腰是三角形，所以，

代入椭圆方程得―（*），

由，消去整理得，

因为圆与椭圆相切，得，所以代入（*）式化简得，两边平方得，即，

所以，，

圆方程为：或

解法二：由椭圆的对称性得，圆心在轴上，设，，，

椭圆上任意一点，。

，

当时，，

因为椭圆上的其余点均在圆外，此时点与点重合得，

由得，化简得，即，

点P在椭圆上得，消去得，。

圆方程为：或

重庆卷理科第21题：如题（21）图，椭圆的中心为原点，长轴在轴上，离心率，过左焦点作轴的垂线交椭圆于两点，.

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）取垂直于轴的直线与椭圆相交于不同的两点，过作圆心为的圆，使椭圆上的其余点均在圆外.若,求圆的标准方程.

解法：（Ⅱ）由及椭圆的对称性设点、的坐标分别为，，则①.设点为椭圆上任意一点，则②.②-①，化简得③.

由题意得，点满足：，即不等式恒成立，也

即恒成立.将③式代入上式，整理得

恒成立④.

当，即时，④成立；

当，即时，由知，存在介于，之间，④不成立.

所以.将其代入①式，得,则的坐标为，，则圆的标准方程为.