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2012年高考数学福建卷试题解法及赏析

2012年高考数学福建卷理科第7题：

原题：设函数，则下列结论错误的是（）

.的值域为.是偶函数

.不是周期函数.不是单调函数.

解法：因的函数值只有和，故的值域为，正确；若为无理数，则也为无理数；若为有理数，则也为有理数，因此，所以是偶函数，故正确；由于，所以不是单调函数.或者随意作出该函数几个点的简易图像就看出不是单调函数，故正确；对于任意的有理数，若为无理数，则也为无理数；若为有理数，则也为有理数，恒有，即是以任意有理数为周期的周期函数.故错误，所以选择.

赏析：本题以高等数学一个著名的函数函数作为载体，借以考查中学数学中函数基本性质：值域、奇偶性、周期性、单调性、图像，题型新颖.作为选择题，难度不是很大，可是得分率不高，主要是学生对选项、难以定夺，应该是本题的难点，原因在于所给函数是一个特殊的分段函数.

2012年高考数学福建卷理科第10题：

原题：函数在上有定义，若对任意，，有

，则称在上具有性质.设在上具有性质，现给出如下命题：

①在上的图象是连续不断的；

②在上具有性质；

③若在处取得最大值，则，；

④对任意有

.

其中真命题的序号是

①②.①③.②④.③④

解法1：对于①，令，显然满足，但不连续，故①错误；对于②，令，则，记，，，因为，

所以，故在上不具有性质，故②错误；

对于③，令，，，则有

，

即，而，，所以，故，故，，则，，所以③正确；对于④，因为，所以，，所以有

，

因为，

所以.故④正确.

解法2：命题①：设函数它的图象如图所示，所以命题①为假命题；命题②：设，则，显然在上不具有性质P，所以命题②为假命题；命题③：因为在处取得最大值1，则且.设则

即，，所以命题③为真命题；

命题④：

所以命题④为真命题.

赏析1：本题以高等数学中函数的凹凸性（即琴森不等式）知识为背景，是一道信息创新试题，主要考查考生的阅读能力、分析问题能力、解决问题能力、处理信息创新能力.仔细研究近几年福建省高考数学试题可以发现：福建省近几年选择题压轴题都是以高等数学中的知识为背景、为载体来命制试题，已经成为一道亮丽的风景线，不仅有利于考查考生的创新能力，也有利于高校选拔人才，这正是高考的重要目的所在.

赏析2：本题作为福建理科卷选择题的压轴题，该题以高等数学中的凸函数为背景命题，利用中学知识研究凸函数性质.试题形式新颖、内敛深刻，考察了学生的函数综合知识，对创新能力要求较高.通过对命题的判断，学生不仅能了解到凸函数的基本性质，而且能欣赏到数学结论的奇异美，特别是命题④的结论，形式工整对称，和谐统一，值得细细品味.

赏析3：试题以函数的“凹凸性”为“灵魂”，函数的“凹凸性”有以下三种表现形式：１.是图象形式；２是不等式形式；３.是二阶导数形式。该题以新定义的方式和函数“凹凸性”的不等式的形式展现给考生，既考查学生的阅读理解能力，又考查了学生探索思维、创新思维以及灵活的推理与判别能力，是一道有较高区分度的好题；

赏析4：本题以多项选择题的形式展现，从以上解法可看出题目设计者独具匠心的设置：把①与④摆在四个选项的对称位置，由于④的正面论证麻烦，因此只要能否定①，就无须考虑④了，无形中为考生找到正确结果设置好了桥梁，而②与③恰好设置为一个错一个对，能举出②的反例或能论证③的正确均可使问题获解，而且难度控制得当，因此有利于测查学生分析问题的计划性，条理性，主次性等非数学的内在品质。因此，该题是具有多种测查功能的优秀试题之一。

2012年高考数学福建卷理科第15题：

原题：对于实数a和b，定义运算“﹡”：设，且关于的方程为（）恰有三个互不相等的实数根，，，则的取值范围是_______.

解法1：根据定义得：

画出其图象，又方程（）恰有三个互不相等的实数根，

则，不妨设，

由，得；由，得，

所以，令，设，则，故

，求导得：

又，所以当时；当时，故函数在单调递增，在单调递减，则当时，当时，所以的取值范围是.

解法2：根据定义得：

画出其图象，又方程为（）恰有三个互不相等的实数根，所以，

不妨设，由解得，故，

由得：，则，所以，

故的取值范围是.

解法3：由题意得，当时，能有三个实数根。考虑“临界情形”，当时，；当时，

再结合上述图形，可以看出：当时，

所以答案为

赏析1：本题具有一定的难度，主要考查分段函数的解析式、图象及性质、函数与方程、高次函数导数等知识点，同时考查处理新信息的阅读及数形结合思想的应用能力，是考生阅读及对信息转化等综合能力和创新能力的集中体现，能力立意正是新课改的精髓，