新高考数学一轮复习考点探究与题型突破训练第08讲 函数的奇偶性及周期性（解析版）.doc

第8讲函数的奇偶性及周期性

1．函数的奇偶性

奇偶性

定义

图象特点

偶函数

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数

关于y轴对称

奇函数

如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数

关于原点对称

2.函数的周期性

(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

常用结论

1．函数奇偶性的常用结论

(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．

(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．

(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．

2．函数周期性的常用结论

对f(x)定义域内任一自变量的值x：

(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a0)．

(2)若f(x＋a)＝eq\f(1,f（x）)，则T＝2a(a0)．

(3)若f(x＋a)＝－eq\f(1,f（x）)，则T＝2a(a0)．

考点1函数的奇偶性

[名师点睛]

1.函数具有奇偶性包括两个必备条件：

(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域．

(2)判断f(x)与f(－x)的关系．在判断奇偶性时，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立．

2.利用函数奇偶性可以解决的问题

(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值．

(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出．

(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得方程(组)，进而得出参数的值．

(4)画函数图像：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图像．

(5)求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值．

[典例]

1．（2022·全国·高三专题练习）判断下列函数的奇偶性：

（1）f(x)＝＋；

（2）f(x)＝(x＋1)；

（3）f(x)＝.

（4）f(x)＝

【解】（1）由得x＝±3.

∴f(x)的定义域为{－3，3}，此时f(x)＝0.

即f(x)＝±f(－x)．∴f(x)既是奇函数，又是偶函数．

（2）由得－1x≤1.

∵f(x)的定义域(－1，1]不关于原点对称．

∴f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．

（3）由得－2≤x≤2且x≠0.

∴f(x)的定义域为[－2，0)∪(0，2]，关于原点对称．此时，有f(x)＝＝，

∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．

（4）当x0时，f(x)＝－x2＋2x＋1，

－x0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)－1＝x2－2x－1＝－f(x)；

当x0时，f(x)＝x2＋2x－1，

－x0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＋1＝－x2－2x＋1＝－f(x)．

所以f(x)为奇函数．

2．（2022·山东·青岛二中高三期末）设函数的定义域为R且满足是奇函数，则f（2）=（???????）

A．－1 B．1 C．0 D．2

【答案】C

【解析】

令，因为为奇函数，所以，

故选：C.

3．（2022·河南·高三阶段练习）已知为奇函数，当时，，则当时，（???????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

因为为奇函数，所以，即．

当时，，．

故选：C

4．（2022·江苏南通·模拟预测）若函数为奇函数，则实数的值为（???????）

A．1 B．2 C． D．

【答案】D

【解析】

由为奇函数，

所以，

所以，可得，

解得，

当时，的定义域为，符合题意，

当时，的定义域为符合题意，

故选：D

[举一反三]

1．（2022·海南海口·模拟预测）已知函数，则下列函数是奇函数的是（???????）

A．f(x)+1 B．f(x)－1 C．f(x+1) D．f(x－1)

【答案】C

【解析】

的图象是由的图象向右平移1个单位得出的，因此其图象关于点对称，只有把的的图象向左平移1个单位，图象才会关于原点对称，

所以只有，是奇函数．

故选：C．

2．（2022·山东菏泽·高三期末）设函数，的定义域分别为F，G，且.若对任意的，都有，则称为在G上的一个“延拓函数”.已知函数，若为在上的一个延拓函数，且是偶函数，则函数的解析