新高考数学一轮复习考点探究与题型突破训练第10讲 幂函数与二次函数（原卷版）.doc

第10讲幂函数与二次函数

1．幂函数

(1)定义

形如的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝xeq\s\up6(\f(1,2))，y＝x－1.

(2)性质

①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；

②当α0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；

③当α0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．

2．二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式

①一般式：f(x)＝；

②顶点式：f(x)＝；

③零点式：f(x)＝．

(2)二次函数的图象和性质

解析式

f(x)＝ax2＋bx

＋c(a0)

f(x)＝ax2＋bx

＋c(a0)

图象

定义域

(－∞，＋∞)

(－∞，＋∞)

值域

eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))

eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))

单调性

在上单调递减；

在上单调递增

在上单调递增；

在上单调递减

奇偶性

当时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数

顶点

对称性

图象关于直线x＝－eq\f(b,2a)成轴对称图形

考点1******

[名师点睛]

1．对于幂函数图像的掌握，需记住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α＜0,0＜α＜1，α＝1，α1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．

2．在比较幂值的大小时，可结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．

3．在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图像越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图像越远离x轴(简记为“指大图高”)．

[典例]

1．（2022·全国·高三专题练习）若幂函数(m，n∈N*，m，n互质)的图像如图所示，则（???????）

A．m，n是奇数，且1

B．m是偶数，n是奇数，且1

C．m是偶数，n是奇数，且1

D．m是奇数，n是偶数，且1

2．（2022·全国·高三专题练习）幂函数是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则m的值为（???????）

A．﹣6 B．1 C．6 D．1或﹣6

3．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数的图象过点．设，，，则，，的大小关系是（???????）

A． B．

C． D．

[举一反三]

1．（2022·北京·二模）下列函数中，与函数的奇偶性相同，且在上有相同单调性的是（???????）

A． B．

C． D．

2．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数y＝f(x)经过点(3，)，则f(x)（???????）

A．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数

B．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数

C．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数

D．是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数

3．（2022·全国·高三专题练习）函数与均单调递减的一个充分不必要条件是（???????）

A． B． C． D．

4．（多选）（2022·广东潮州·二模）已知幂函数的图象经过点，则下列命题正确的有（???????）．

A．函数的定义域为

B．函数为非奇非偶函数

C．过点且与图象相切的直线方程为

D．若，则

5．（2022·海南·文昌中学高三阶段练习）已知幂函数过点A（4，2），则f（）=___________.

6．（2022·北京通州·一模）幂函数在上单调递增，在上单调递减，能够使是奇函数的一组整数m，n的值依次是__________．

7．（2022·重庆·二模）关于x的不等式，解集为___________.

8．（2022·全国·高三专题练习）如图是幂函数（αi＞0，i＝1，2，3，4，5）在第一象限内的图象，其中α1＝3，α2＝2，α3＝1，，，已知它们具有性质：

①都经过点（0，0）和（1，1）；?????②在第一象限都是增函数．

请你根据图象写出它们在（1，+∞）上的另外一个共同性质：___________．

9．（2022·广东深圳·高三期末）已知函数的图像关于原点对称，且在定义域内单调递增，则满足上述条件的幂函数可以为______．

10．（2022·北京·高三专题练习）已知幂函数为奇函数．

（1）求实数m的值；

（2）求函数的值域．

考点2二次函数的解析式

[名师点睛]

求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析