新高考数学一轮复习考点探究与题型突破训练第18讲 导数与函数的极值、最值（原卷版）.doc

第18讲导数与函数的极值、最值

1．函数的极值与导数

条件

f′(x0)＝0

x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0

x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0

图象

极值

f(x0)为极大值

f(x0)为极小值

极值点

x0为极大值点

x0为极小值点

[提醒](1)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能称为极值点．

(2)在函数的整个定义域内，极值不一定是唯一的，有可能有多个极大值或极小值．

(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系．

2．函数的最值

(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．

(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．

考点1利用导数解决函数的极值问题

[名师点睛]

1.由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性，两者结合可得极值点．

2.运用导数求函数f(x)极值的一般步骤

(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号；(5)求出极值．

[典例]

1．（2022·浙江·高三专题练习）如图是函数的导函数的图象，下列结论中正确的是（???????）

A．在上是增函数 B．当时，取得最小值

C．当时，取得极大值 D．在上是增函数，在上是减函数

2．（2022·江苏江苏·高三期末）已知函数f(x)＝x3＋ax2－x的图象在点A(1，f(1))处的切线方程为y＝4x－3，则函数y＝f(x)的极大值为（???????）

A．1 B． C． D．－1

3．（2022·河北·衡水市冀州区第一中学高三期末）已知函数的极小值为a，则a的值为______.

4．（2021·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数．

(1)当时，求的极值；

(2)设函数，讨论在区间上的极值点的个数．

[举一反三]

1．（2022·全国·高三专题练习）函数的定义域为开区间，导函数在内的图像如图所示，则函数在开区间内有极小值点（???????）

A．个 B．个 C．个 D．个

2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的图象如图所示，那么下列结论正确的是（???????）

A． B．没有极大值

C．时，有极大值 D．时，有极小值

3．（2022·江苏南通·模拟预测）已知函数在处取极小值，且的极大值为4，则（???????）

A．-1 B．2 C．-3 D．4

4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在区间上无极值，则的取值范围是（???????）

A．（0，5] B．（0，5）

C．（0，） D．（0，]

5．（2021·江苏苏州·高三阶段练习）若函数在区间[0，π)内有且只有两个极值点，则正数ω的取值范围是（???????）

A． B． C． D．

6．（多选）（2021·福建·永安市第三中学高中校高三期中）函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（???????）

A．为函数的单调递增区间 B．为函数的单调递减区间

C．函数在处取得极小值 D．函数在处取得极大值

7．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的（???????）

A．在时取极小值 B．在时取极大值

C．是极小值点 D．是极小值点

8．（2022·全国·模拟预测）请写出函数的一个极大值：__________．

9．（2022·山东烟台·高三期末）若是函数的极值点，则的极大值为______．

10．（2022·天津河西·二模）若函数在处取得极值，则____________．

11．（2022·重庆·三模）已知函数在区间内有唯一的极值点，则的取值范围是___________.

12．（2022·湖南常德·一模）设函数的两个极值点为，若，则实数的取值范围是___________.

13．（2021·全国·高三专题练习）已知函数，当时，讨论函数在区间上的极值.

14．（2022·北京房山·一模）已知函数.

(1)当时，求曲线在处的切线方程；

(2)若在区间（0，e]存在极小值，求a的取值范围.

考点2利用导数求函数的最值

[名师点睛]

求函数f(x)在[a，b]上最值的方法

(1)若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值．

(2)若函数在闭区间[a，b]内有极值，要先求出[a，b]上