新高考数学一轮复习考点探究与题型突破训练第22讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数（原卷版）.doc

第22讲任意角和弧度制及任意角的三角函数

1．角的概念

(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．

分类：按旋转方向，角可以分成三类：正角、负角和零角．

(2)象限角

在平面直角坐标系中，若角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．

(3)终边相同的角

所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．

2．弧度制的相关概念

(1)1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角．

(2)弧度制：

①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．

②记法：弧度单位用符号rad表示，读作弧度．

如图，在单位圆O中，eq\o(AB,\s\up8(︵))的长等于1，∠AOB就是1弧度的角．

(3)角度制和弧度制的互化：180°＝πrad，1°＝eq\f(π,180)rad，1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°．

(4)扇形的弧长公式：l＝α·r，扇形的面积公式：S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)α·r2.其中r是半径，α(0＜α＜2π)为弧所对圆心角．

3．三角函数的概念

三角函数

正弦

余弦

正切

定义

设α是一个任意角，α∈R，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么

y叫做α的正弦，记作sinα

x叫做α的余弦，记作cosα

eq\f(y,x)叫做α的正切，记作tanα

考点1角的概念与表示

[名师点睛]

(1)表示区间角的三个步骤

①先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；

②再按由小到大的顺序分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α＜x＜β}，其中β－α＜360°；

③最后令起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角的集合．

(2)象限角的两种判断方法

①图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角；

②转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α的终边所在的象限判断已知角是第几象限角．

[典例]

1．（2022·全国·高三专题练习）下列说法中正确的是（???????）

A．第一象限角都是锐角

B．三角形的内角必是第一?二象限的

C．不相等的角终边一定不相同

D．不论是用角度制还是弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关

2．（2022·全国·高三专题练习）与角的终边相同的角的表达式中，正确的是（???????）

A．， B．，

C．， D．，

3．（2022·全国·高三专题练习）角的终边属于第一象限，那么的终边不可能属于的象限是（???????）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

[举一反三]

1．（2022·全国·高三专题练习）若角的终边在直线上，则角的取值集合为（???????）

A． B．

C． D．

2．（2022·浙江·高三专题练习）若，则的终边在（???????）

A．第一、三象限 B．第一、二象限

C．第二、四象限 D．第三、四象限

3．（多选）（2022·江苏·高三专题练习）下列与角的终边不相同的角是（???????）

A． B．2kπ－(k∈Z)

C．2kπ＋(k∈Z) D．(2k＋1)π＋(k∈Z)

4．（多选）（2022·全国·高三专题练习）如果角与角的终边相同，角与的终边相同，那么的可能值为（???????）

A． B． C． D．

5．（多选）（2022·全国·高三专题练习）下列条件中，能使和的终边关于轴对称的是（???????）

A． B．

C． D．

6．（多选）（2022·全国·高三专题练习）如果是第四象限角，那么可能是（???????）

A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角

考点2弧度制及其应用

[名师点睛]

应用弧度制解决问题的注意点

(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．

(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．

(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．

[典例]

1．（2022·广东广东·一模）数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A、B、C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角（如图所示）．若莱洛三角形的周长为，则其面积是______．

2．（2022·全国·模拟预测）炎炎夏