湖南省长沙市第一中学2025届高三下学期高考模拟考试（一）数学试题.docx

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湖南省长沙市第一中学2025届高三下学期高考模拟考试（一）数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知数列满足，若，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

2．双曲线的一个焦点为，则（????）

A． B． C．3 D．

3．已知，则的值为（???）

A． B．1 C． D．2

4．函数的图象大致为（???）

A． B．

C． D．

5．已知是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（???）

A．4 B． C．2 D．1

6．已知函数，且，则实数的取值范围为（???）

A． B．

C． D．

7．如图，用6种不同的颜色把图中A，B，C，D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有（????）

A．400种 B．460种 C．480种 D．496种

8．用平面截圆柱面，圆柱的轴与平面所成的角记为，当为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆，数学家Dandelin创立的双球模型证明了上述结论．如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于的上方和下方，并且与圆柱面和均相切，切点分别为．下列关于截口曲线的椭圆的结论中不正确的有（????）

??

A．椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等

B．椭圆的长轴长与嵌入圆柱的两球的球心距相等

C．所得椭圆的离心率

D．其中为椭圆长轴，为球的半径，有

二、多选题

9．已知函数则（????）

A．有两个极值点

B．有3个零点

C．点是曲线的对称中心

D．直线是曲线的切线

10．已知数列的前项和为，下列说法正确的是（????）

A．若，则、、成等比数列

B．若为等差数列，则为等差数列

C．若为等比数列，则为等差数列

D．若，，，则为等比数列

11．若复数在复平面内对应的点为，则下列说法正确的是（???）

A．若，则在第二象限

B．若为纯虚数，则在虚轴上

C．若，则点的集合所构成的图形的面积为

D．若，则为实数

三、填空题

12．如图：在中，，，三点分别在边，，上，则，，的外接圆交于一点，称点为密克点.运用上述结论解决如下问题：在梯形中，，，，为边的中点，动点在边上，与的外接圆交于点（异于点），则的最小值为.

13．已知平面向量、、满足，，，，则.

14．已知事件A，满足，，，则的取值范围为．

四、解答题

15．已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于直线.

(1)求函数的解析表达式；

(2)求函数的极值.

16．记锐角内角，，的对边分别为，，，且.

(1)证明：；

(2)求的最大值.

17．预防接种是预防掌握传染病最经济、最有效的手段，是预防疾病传播和保护群众的重要措施.为了考查一种新疫苗预防某一疾病的效果，研究人员对一地区某种动物（数量较大）进行试验，从该试验群中随机抽查了50只，得到如下的样本数据（单位；只）：

发病

没发病

合计

接种疫苗

7

18

25

没接种疫苗

19

6

25

合计

26

24

50

(1)能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为接种该疫苗与预防该疾病有关？

(2)从该地区此动物群中任取一只，记表示此动物发病，表示此动物没发病，表示此动物接种疫苗，定义事件的优势，在事件发生的条件下的优势，利用抽样的样本数据，求的估计值.

(3)若把表中的频率视作概率，现从该地区没发病的动物中抽取3只动物，记抽取的3只动物中接种疫苗的只数为，求随机变量的分布列、数学期望.

附：，其中.

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

18．如图1，已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，过点作倾斜角为的直线交抛物线于两点（点在第一象限）．当时，．

(1)求抛物线的方程；

(2)如图2，把沿翻折为，使得二面角的大小为．

①若，求直线与平面所成角的正弦值；

②证明：三棱锥的体积为定值．

19．已知函数图像如图1所示，，分别为图像的最高点和最低点，过，作轴的垂线，分别交轴于，，点为该部分图像与轴的交点，且，与轴的交点为．将绘有该图像的纸片沿轴折成如图2所示的二面角．折叠后，当二面角的值为时，．

(1)求函数的解析式；

(2)在图2中，的图像上存在点，使得平面，请确定点的个数，并简要说明理由；

(3)如图3，在折叠过程中，若二面角的范围是，求二面角的余弦值的取值范围．

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