新高考数学一轮复习考点探究与题型突破训练第27讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用（解析版）.doc

第27讲函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用

1．函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念

y＝Asin(ωx＋φ)

(A0，ω0)

振幅

周期

频率

相位

初相

A

T＝eq\f(2π,ω)

f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π)

ωx＋φ

φ

2．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)一个周期内的简图

用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：

ωx＋φ

0

eq\f(π,2)

π

eq\f(3π,2)

2π

x

－eq\f(φ,ω)

eq\f(π,2ω)－eq\f(φ,ω)

eq\f(π－φ,ω)

eq\f(3π,2ω)－eq\f(φ,ω)

eq\f(2π－φ,ω)

y＝Asin(ωx＋φ)

0

A

0

－A

0

五点法作图的步骤

用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的简图，精髄是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，eq\f(π,2)，π，eq\f(3π,2)，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象，其中相邻两点的横向距离均为eq\f(T,4).

3．由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的图象的两种方法

考点1函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换

[名师点睛]

作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法：

(1)五点法作图：用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，eq\f(π,2)，π，eq\f(3,2)π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；

(2)图象的变换法：由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．

[典例]

1．（2022·浙江·高考真题）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（???????）

A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

【答案】D

【解析】因为，所以把函数图象上的所有点向右平移个单位长度即可得到函数的图象．

故选：D.

2．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））若函数(其中)图象的一个对称中心为，其相邻一条对称轴方程为，且函数在该对称轴处取得最小值，为了得到的图象，则只要将f（x）的图象（）

A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度

C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度

【答案】D

【解析】解：函数图象的一个对称中心为，其相邻一条对称轴方程为，

所以，

所以.

因为函数在时取得最小值，

所以，，

∴???，

∵∴

∴

根据平移变换规律可知，向左平移个单位，可得函数，

所以向左平移个单位可得的图象，

故选：D.

[举一反三]

1．（2022·湖北·荆州中学三模）要得到函数的图象，只需将函数的图象（????????）

A．向左平移个单位 B．向右平移个单位

C．向左平移个单位 D．向右平移个单位

【答案】A

【解析】，所以的图象向左平移个单位得：.

故选：A.

2．（2022·全国·高三专题练习）由函数的图象经过图象变换得到函数的图象，则这个变换过程为（???????）

A．向左平移个单位长度，把所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变）

B．向左平移个单位长度，把所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变）

C．把所有点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），向左平移个单位长度

D．把所有点的横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），向左平移个单位长度

【答案】A

【解析】的图象经过图象变换得到函数的图象,

可先平移后伸缩：

将函数图象向左平移个单位长度得，再将所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），即可得到的图象；

先伸缩后平移：

把所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到，再将图象左移个单位，得到的图象.

故选：A

3．（2022·河北唐山·高三期末）为了得到函数的图像，只需把函数的图像（???????）

A．向左平移个单位 B．向右平移个单位

C．向左平移个单位 D．向右移个单位

【答案】D

【解析】因为：．

所以：函数的图象向右平移个单位，

可得到函数的图象．

故选:D.

考点2由图象求解析式

[名师点睛]

确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法

(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，

则A＝eq\f(M－m,2)，b＝eq\f(M＋m,2).

(2)求ω，确定函数的最小正周期T，则可得ω＝eq\f(2π,T).

(3)求φ，常用的方法有：

①代入法：把图象上的一