新高考数学一轮复习考点探究与题型突破训练第28讲 正弦定理和余弦定理（解析版）.doc

第28讲正弦定理和余弦定理

1.正、余弦定理

在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则

定理

余弦定理

正弦定理

公式

a2＝b2＋c2－2bccos__A；

b2＝c2＋a2－2cacos__B；

c2＝a2＋b2－2abcos__C

eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R

常见变形

cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；

cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；

cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)

(1)a＝2RsinA，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C；

(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；

(3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；

(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA

2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：

A为锐角

A为钝角或直角

图形

关系式

a＝bsinA

bsinAab

a≥b

ab

a≤b

解的个数

一解

两解

一解

一解

无解

3.三角形常用面积公式

(1)S＝eq\f(1,2)a·ha(ha表示a边上的高).

(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(abc,4R).

(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r为内切圆半径).

1.三角形中的三角函数关系

(1)sin(A＋B)＝sinC；

(2)cos(A＋B)＝－cosC；

(3)sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2)；

(4)coseq\f(A＋B,2)＝sineq\f(C,2).

2.三角形中的射影定理

在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.

3.在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，AB?ab?sinAsinB?cosAcosB.

考点1利用正、余弦定理解三角形

[名师点睛]

(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素.

(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系.

[典例]

1.(2021·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2＝ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC＝asinC.

(1)证明：BD＝b.

(2)若AD＝2DC，求cos∠ABC.

(1)证明因为BDsin∠ABC＝asinC，

所以由正弦定理得，BD·b＝ac，

又b2＝ac，所以BD·b＝b2，

又b0，所以BD＝b.

(2)解法一如图所示，过点D作DE∥BC交AB于E，

因为AD＝2DC，

所以eq\f(AE,EB)＝eq\f(AD,DC)＝2，eq\f(DE,BC)＝eq\f(2,3)，

所以BE＝eq\f(c,3)，DE＝eq\f(2,3)a.

在△BDE中，cos∠BED＝eq\f(BE2＋DE2－BD2,2BE·DE)＝eq\f(\f(c2,9)＋\f(4a2,9)－b2,2·\f(c,3)·\f(2a,3))＝eq\f(c2＋4a2－9b2,4ac)＝eq\f(c2＋4a2－9ac,4ac).

在△ABC中，cos∠ABC＝eq\f(AB2＋BC2－AC2,2AB·BC)＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)＝eq\f(c2＋a2－ac,2ac).

因为∠BED＝π－∠ABC，

所以cos∠BED＝－cos∠ABC，所以eq\f(c2＋4a2－9ac,4ac)＝－eq\f(c2＋a2－ac,2ac)，

化简得3c2＋6a2－11ac＝0，方程两边同时除以a2，

得3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))eq\s\up12(2)－11eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))＋6＝0，解得eq\f(c,a)＝eq\f(2,3)或eq\f(c,a)＝3.

当eq\f(c,a)＝eq\f(2,3)，即c＝eq\f(2,3)a时，cos∠ABC＝eq\f(c2＋a2－ac,2ac)＝eq\f(\f(4,9)a2＋a2－\f(2,3)a2,\f