新高考数学一轮复习考点探究与题型突破训练第29讲 解三角形应用举例及综合问题（解析版）.doc

第29讲解三角形应用举例及综合问题

1.仰角和俯角

在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).

2.方位角

从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图2).

3.方向角

正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等.

4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.

考点1解三角形应用举例

[名师点睛]

1.距离问题的类型及解法

(1)类型：两点间既不可达也不可视，两点间可视但不可达，两点都不可达.

(2)解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.

2.高度问题的类型及解法

（1）在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角.

（2）准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图.

（3）运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用.

3.角度问题的类型及解法

（1）测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.

（2）方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角.

[典例]

1.（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）为了测量一个不规则公园两点之间的距离，如图，在东西方向上选取相距的两点，点在点A的正东方向上，且四点在同一水平面上．从点A处观测得点在它的东北方向上，点在它的西北方向上；从点处观测得点在它的北偏东方向上，点在它的北偏西方向上，则之间的距离为______km.

【答案】2

【分析】由题意确定相应的各角的度数，在中，由正弦定理求得BC,同理再求出DB，解，求得答案.

【详解】由题意可知，,,

故在中，，

故，，

在中，，

故，，

所以在中，，则,

故答案为：2

2.(2021·全国甲卷)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰必威体育精装版高程为8848.86(单位：m).三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一，如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A′，B′，C′满足∠A′C′B′＝45°，∠A′B′C′＝60°.由C点测得B点的仰角为15°，BB′与CC′的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′－CC′约为(eq\r(3)≈1.732)()

A.346 B.373 C.446 D.473

答案B

解析如图所示，根据题意过C作CE∥C′B′，交BB′于E，过B作BD∥A′B′，交AA′于D，则BE＝100，C′B′＝CE＝eq\f(100,tan15°).

在△A′C′B′中，∠C′A′B′＝180°－∠A′C′B′－∠A′B′C′＝75°，

则BD＝A′B′＝eq\f(C′B′·sin45°,sin75°)，又在B点处测得A点的仰角为45°，所以AD＝BD＝eq\f(C′B′·sin45°,sin75°)，

所以高度差AA′－CC′＝AD＋BE

＝eq\f(C′B′·sin45°,sin75°)＋100＝eq\f(\f(100,tan15°)·sin45°,sin75°)＋100＝eq\f(100sin45°,sin15°)＋100＝eq\f(100×\f(\r(2),2),\f(\r(2),2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)－\f(1,2))))＋100＝100(eq\r(3)＋1)＋100≈373.

3．（2022·全国·高三专题练习）公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一平面上.一人在公路上向东行走，在点处测得楼顶的仰角为45°，行走80米到点处，测得仰角为30°，再行走80米到点处，测得仰角为.则______________.

【答案】

【解析】首先得到，然后由余弦定理得：，，然后求出即可

【详解】

如图，为楼脚，为楼高，则，易得：.

由余弦定理得：，

，

两式相加得：，

则，

故.

故答案为：

[举一反三]

1．（2022·山东师范大学附中模拟预测）魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．一个数学学习兴趣小组研究发现，书中提供的测量方法甚是巧妙，可以回避现代测量器械的应用．现该兴趣小组沿用古法测量一山体高度，如图点E、H、G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，记为，EG为测